2016届高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：直线与圆锥曲线剖析

第九节直线与圆锥曲线[备考方向要明了]考什么怎么考1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法．2.了解圆锥曲线的简单应用．3.理解数形结合的思想.直线与圆锥曲线的位置关系，是历年高考考查的重点，常以解答题形式考查，以直线与圆锥曲线的方程为基础，结合有关概念及计算，将位置关系转化为相应的方程或方程组的解的讨论．如2012年广东T20等.[归纳·知识整合]1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即Ax＋By＋C＝0，Fx，y＝0，消去y，得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ0⇔直线与圆锥曲线C相离．(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．[探究]直线与圆锥曲线只有一个公共点时，是否是直线与圆锥曲线相切？提示：直线与圆锥曲线只有一个公共点时，未必一定相切，还有其他情况，如抛物线与平行或重合于其对称轴的直线，双曲线与平行于其渐近线的直线，它们都只有一个公共点，但不是相切，而是相交．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋1k2·|y1－y2|＝1＋1k2·y1＋y22－4y1y2.[自测·牛刀小试]1．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a等于()A.12B.13C.14D．4解析：选C由x－y－1＝0，y＝ax2，消去y得ax2－x＋1＝0，所以a≠0，1－4a＝0，解得a＝14.2．直线y＝bax＋3与双曲线x2a2－y2b2＝1的交点个数是()A．1B．2C．1或2D．0解析：选A因为直线y＝bax＋3与双曲线的渐近线y＝bax平行，所以它与双曲线只有1个交点．3．设抛物线x2＝4y的焦点为F，经过点P(1,5)的直线l与抛物线相交于A，B两点，且点P恰为线段AB的中点，则|AF|＋|BF|＝________.解析：A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝10，由抛物线定义得|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋p＝10＋2＝12.答案：124．直线y＝kx＋1与椭圆x25＋y2m＝1恒有公共点，则m的取值范围是________．解析：直线y＝kx＋1过定点(0,1)，由题意，点(0,1)在椭圆内或椭圆上．则m≥1，且m≠5.答案：m≥1且m≠55．过椭圆x25＋y24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．解析：由c＝5－4＝1，知椭圆右焦点为(1,0)，则直线方程为y＝2(x－1)，联立方程得x25＋y24＝1，y＝2x－1，解得x1＝0，x2＝53，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＝－2，y2＝43.∴S△＝12×1×|y1－y2|＝12×1×103＝53.答案：53直线与圆锥曲线的位置关系问题[例1](1)已知直线y＝kx－1与椭圆x24＋y2a＝1相切，则k，a之间的关系式为________________．(2)(2013·沈阳模拟)若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是()A.－153，153B.0，153C.－153，0D.－153，－1[自主解答](1)由y＝kx－1，x24＋y2a＝1，得(a＋4k2)x2－8kx＋4－4a＝0.因为直线与椭圆相切，所以Δ＝64k2－4×(4－4a)(a＋4k2)＝0，即a＋4k2－1＝0.(2)由y＝kx＋2，x2－y2＝6，得(1－k2)x2－4kx－10＝0.∵直线与双曲线右支有两个不同交点，∴1－k2≠0，Δ＝16k2－41－k2×－100，x1＋x2＝4k1－k20，x1x2＝－101－k20，解得－153k－1.[答案](1)a＋4k2－1＝0(2)D———————————————————研究直线与圆锥曲线位置关系的方法研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数．对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．1．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率取值范围是()A.－12，12B．[－2,2]C．[－1,1]D．[－4,4]解析：选C由题意得Q(－2,0)．设l的方程为y＝k(x＋2)，代入y2＝8x得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.当k＝0时，直线l与抛物线恒有一个交点；当k≠0时，Δ＝16(k2－2)2－16k4≥0，即k2≤1，得－1≤k≤1，且k≠0.综上－1≤k≤1.弦长与中点弦问题[例2]已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上．若右焦点F到直线x－y＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线y＝kx＋m(k≠0)与椭圆相交于不同的两点M，N.当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．[自主解答](1)依题意，可设椭圆方程为x2a2＋y2＝1，则右焦点为F(a2－1，0)．由题意，知|a2－1＋22|2＝3，解得a2＝3.故所求椭圆的方程为x23＋y2＝1.(2)设点M，N的坐标分别为M(xM，yM)，N(xN、yN)，弦MN的中点为P(xP，yP)．由y＝kx＋m，x23＋y2＝1，得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0.∵直线y＝kx＋m(k≠0)与椭圆相交于不同的两点，∴Δ＝(6mk)2－4(3k2＋1)×3(m2－1)0⇒m23k2＋1.①∴xP＝xM＋xN2＝－3mk3k2＋1，从而yP＝kxP＋m＝m3k2＋1.∴kAP＝yP＋1xP＝－m＋3k2＋13mk.又|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN，则－m＋3k2＋13mk＝－1k，即2m＝3k2＋1.②把②代入①，得m22m，解得0m2.由②，得k2＝2m－130，解得m12.综上，m的取值范围是12m2.保持本例题条件不变，若直线y＝kx＋1与椭圆相交于不同的两点M，N，且|MN|＝2，求直线的斜率k.解：由(1)可知，椭圆方程为x23＋y2＝1.由y＝kx＋1，x23＋y2＝1，得(3k2＋1)x2＋6kx＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－6k3k2＋1，x1x2＝0.则|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2＝1＋k2|x1＋x2|＝1＋k2·6|k|3k2＋1＝2，∴36k2(1＋k2)＝4(3k2＋1)2＝4(9k4＋6k2＋1)，即12k2＝4.∴k＝±33.———————————————————与弦长有关问题的解法(1)求圆锥曲线的弦长问题的一般思路是：将直线方程代入圆锥曲线方程，消去y(或x)后，得到关于x(或y)的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)，再由弦长公式|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|，求其弦长．在求|x1－x2|时，可直接利用公式|x1－x2|＝b2－4ac|a|求得．(2)涉及弦的中点及直线的斜率问题，可考虑用“点差法”，构造出kAB＝y1－y2x1－x2和x1＋x2，y1＋y2，运用整体代入的方法，求中点或斜率，体现“设而不求”的思想．2．椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若AB＝22，OC的斜率为22，求椭圆的方程．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.而y1－y2x1－x2＝－1，y1＋y2x1＋x2＝kOC＝22，代入上式可得b＝2a.再由|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝2|x2－x1|＝22，其中x1，x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根，故2ba＋b2－4·b－1a＋b＝4，将b＝2a代入得a＝13，b＝23.故所求椭圆的方程是x23＋2y23＝1.圆锥曲线中最值(或取值范围)问题[例3]已知椭圆x22＋y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点．(1)求过点O，F，并且与直线l：x＝－2相切的圆M的方程；(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．[自主解答](1)∵a2＝2，b2＝1，∴c＝1，F(－1,0)，∵圆过点O，F，∴圆心M在直线x＝－12上．设M－12，t，则圆半径r＝－12－－2＝32，由|OM|＝r，得－122＋t2＝32，解得t＝±2，∴所求圆的方程为x＋122＋(y±2)2＝94.(2)设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，代入x22＋y2＝1，整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.∵直线AB过椭圆的左焦点F且不垂直于x轴，∴方程有两个不等实根．如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，则x1＋x2＝－4k22k2＋1，x0＝12(x1＋x2)＝－2k22k2＋1，y0＝k(x0＋1)＝k2k2＋1，∴AB的垂直平分线NG的方程为y－y0＝－1k(x－x0)．令y＝0，得xG＝x0＋ky0＝－2k22k2＋1＋k22k2＋1＝－k22k2＋1＝－12＋14k2＋2，∵k≠0，∴－12xG0，∴点G横坐标的取值范围为－12，0.———————————————————求最值与范围问题的方法求范围的方法同求最值及函数的值域的方法类似．求最值常见的解法有两种：代数法和几何法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值．3．已知抛物线C：x2＝2py(p0)，其焦点F到准线的距离为12.(1)试求抛物线C的方程；(2)设抛物线C上一点P的横坐标为t(t0)，过P的直线交C于另一点Q，交x轴于M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N，若MN是C的切线，求t的最小值．解：(1)∵焦点F到准线的距离为12，∴p＝12.故抛物线C的方程为x2＝y.(2)设P(t，t2)，Q(x，x2)，N(x0，x20)，则直线MN的方程为y－x20＝2x0(x－x0)令y＝0，得Mx02，0，∴kPM＝t2t－x02＝2t22t－x0，kNQ＝x20－x2x0－x＝x0＋x.∵NQ⊥QP，且两直线斜率存在，∴kPM·kNQ＝－1，即2t22t－x0·(x0＋x)＝－1，整理得x0＝2t2x＋2t1－2t2.①又Q(x，x2)在直线PM上，则MQ―→与MP共线，得x0＝2xtx＋t.②由①②得2t2x＋2t1－2t2＝2xtx＋t(t0)，∴t＝－x2＋13x＝－x3＋13x.∴t≥23或t≤－23(舍去)．∴所求t的最小值为23.2种思想——函数与方程思想和数形结合思想在解决直线与圆锥曲线问题中的应用直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．3类问题——圆锥曲线中的三类问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系判断将直