79固体物理习题解答

第一章习题1.1何谓布喇菲格子？试画出NaCl晶体的结点所构成的布喇菲格子。答：所谓布喇菲格子是指晶体由完全相同的原子组成，原子与晶格的格点相重合，而且每个格点周围的情况都一样。（Bravais格子）氯化钠结构：面心立方Na+布氏格子和面心立方Cl-的布氏格子套构而成的复式格子。1.2为何金刚石结构是复式格子？答：金刚石晶胞位于立方体体内原子和立方体角或面心原子价键的取向各不相同，所以是复式格子这种复式格子实际上是两个面心立方格子套构而成的。1.3对于六角密堆积结构，试证明：。1/28()1.6333ca底面原子及与体心原子之间均紧密接触222323caa1/281.6333ca则红线的长度为33ya2222cyac/2aac/2aa如果，则可认为是由原子密排面所组成，但这些平面之间是疏松堆积的。1.633ca1.4金属Na在273K因马氏体相变从体心立方转变为六角密堆积结构，假定相变时金属的密度维持不变，已知立方相的晶格常数ac=0.423nm，设六角密堆积结构相的c/a维持理想值，试求其晶格常数。解：体心立方每个晶胞包含2个原子，一个原子所占的体积为单位体积内原子数（即密度）为23ccaV六角密堆积每个晶胞包含6个原子，一个原子所占的体积为1Vc即：32122223843436/323aaacacaaVs因为密度不变，所以scVV1133222/aac16/20.377caanmnmacs615.0633.11.5如将等体积的刚球分别排成简立方、体心立方、面心立方、六角密积以及金刚石结构，设x表示刚球体积与总体积之比，试针对不同的结构求x。解：理想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为晶体的致密度，即题中的x设n为一个晶胞中的刚性原子球数，r表示刚性原子球半径，V表示晶胞体积，则致密度为343nrxV(1)简单立方任意一个原子球有6个最近邻，若原子以刚性球堆积，则有a334()326axa32,arVa晶胞内包含一个原子，所以有：任意一个原子球有8个最近邻，若原子以刚性球堆积，则体心原子与处在8个顶角位置处的原子球相切，因此，对角线长度为(2)体心立方a34ar晶胞体积为3Va34ra33432()3348axa晶胞内包含2个原子，所以有：(3)面心立方(4)六角密积a任意一个原子球有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，则面心原子与面角处4个原子球相切，因此，面对角线长度为24ar晶胞体积为3Va33424()2346axa晶胞内包含4个原子，所以有：任意一个原子球有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，则面心原子与面上其它6个原子球相切，因此有2ar晶胞体积22133(6sin60)22oVcaca由第1题知82433car晶胞内包含6个原子，所以有：3246()2326332axca(5)金刚石结构任意一个原子球有4个最近邻，若原子以刚性球堆积，则空间对角线四分之一处的原子与三个面上的面心原子球及顶角处原子球相切，因此有38ar晶胞体积为3Va33438()33816axa晶胞内包含8个原子，所以有：简立方、体心立方、面心立方、六角密积以及金刚石结构的致密度依次为63826263161.61aai2aaj3()2aaijk基矢为的晶体为何种结构？方法1：先计算出原胞体积31231()2Vaaaa由原胞体积可推断为体心结构方法2：由已知的三个基矢构造三个新的基矢'131'232'3123()2()2()2aaaaijkaaaaijkaaaaaijk由此可推断为体心结构1.7、1.8、1.9、1.10、1.12和1.13见课件1.11已知三斜晶系的晶体中，三个基矢为，和,现测知该晶体的某一晶面法线与基矢的夹角依次为α、β和γ，试求该晶面的面指数1a2a3a332211coscoscoshadhadhaddahdahdahcoscoscos332211晶面指数为dadadacoscoscos321)cos,cos,cos(321sss其中是保证为互质数的因子,称为互质因子321,,sss321,,hhh解：最靠近原点的晶面在三个基矢上的截距分别为312123aaahhh、、1.14如图所示，B、C两点是面心立方晶胞上的两面心，求：（1）ABC面的密勒指数；（2）AC晶列的指数。BCAabc矢量与矢量的叉乘即是ABC面的法线矢量BABCBAOAOB11()()(2)22abbcabcBCOCOB211(2)()(3)224aBABCabcacijkABC面的密勒指数为(131)（1）1(2)2aijk111[()]()()222cabbcaik（2）AC晶列的指数BCAabcACOCOA11[()]()(2)22cababaijk所以AC晶列的晶列指数为[112]第二章习题2.1证明简单六角布喇菲格子的倒格子仍为简单六角布喇菲格子，并给出其倒格子的晶格常数。解：在直角坐标系中，简单六角布喇菲格子的基矢为：zcayaxaaxaaˆˆ23ˆ2ˆ321相应的倒格子基矢为：zccazaaaaaabyacayacaaaaabyxacayacxacaaaaabˆ223ˆ2322ˆ332223ˆ22ˆ21ˆ23332223ˆ21ˆ23222232121323211322321321容易看出此倒格子为简单六角布喇菲格子晶格常数为：1234343233bbbaac2.2对正交简单晶格，假设沿三个基矢方向的周期分别为a、b和c的，当入射X射线方向沿[100]方向（其重复周期为a）时，试确定在哪些方向上会出现衍射极大？什么样的X射线波长才能观察到极大？zcbybbxabzcaybaxaaˆ2ˆ2ˆ2ˆˆˆ321321解：zchybhxahbhbhbhGhˆˆˆ232133221100ˆkkx任意倒格矢因入射X射线方向沿[100]方向故有晶体衍射的布里渊表述212hhkGG312222hxyzhhhkGkkkabc假定衍射极大出现在方向(,,)xyzkkkk2222231222212()2hhhhGabc0hkkG31202()hhhkxxyzabc3120222()hhhkxyzabc212hhkGG22223312122222222()xyzhhhhhhkkkabcabc3120222xyzhhhkkkkabc22222231122222222xhhhhkaabc2223122221[]xhhhakhabc2223122221[]xhhhakhabc3222yzhhkkbc所以衍射极大出现在方向22233122222122(,,)[]xyzhhhhhakkkkxyzhabcbc102xhkka102xhkka2223122221()hhhahabc为观察到衍射极大要求入射波波长满足1222312022222()hhhhkaabc2.3证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方面心立方晶格的倒格子是体心立方由倒格子定义体心立方格子原胞基矢倒格子基矢)(2kja同理)(22321132kiaaaaaab32()bija可见由为基矢构成的格子为面心立方格子——面心立方格子原胞基矢倒格子基矢)(21kjiab同理)(22kjiab)(23kjiab可见由为基矢构成的格子为体心立方格子——2.4证明倒格子原胞体积倒格子基矢倒格子体积3(2)2.5正格子中晶面指数为的晶面和倒格矢正交123hhh（）hK112233hKhbhbhb其中hK倒格矢是晶面指数为所对应的晶面族的法线123hhh（）意味着123hhhK证明3113aaCAhh123112233hhhKhbhbhb1233111223313()()hhhaaKCAhbhbhbhh311133130aahbhbhh2ijijab1230hhhKCB所以晶面族与和倒格矢正交123hhh（）123hhhK同理可证2.6试导出倒格矢的长度与晶面族面间距间的关系见课件2.8试画出周期为的一维布喇菲格子的第一和第二布里渊区。2.9试画出边长为的二维正方格子的第一和第二布里渊区。2.7如果基矢构成简单正交系证明晶面族的面间距为说明面指数简单的晶面，其面密度比较大，容易解理简单正交系倒格子基矢倒格子矢量晶面族的面间距2221/()()()hklabc——面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大晶面上格点的密度越大，这样的晶面越容易解理倒格子基矢2.10假设具有立方对称、由同种原子构成的某种晶体，在对其进行x射线分析时，在衍射谱图中只观察到（110）、（200）、（220）或（222）等衍射峰，但没有观察到（100）、（300）、（111）或（221）等衍射峰，试通过分析说明该晶体具有何种类型的晶体结构。解：对立方对称晶体，有简单立方、体心立方和面心立方三种典型的晶体结构。对同种原子组成的面心立方晶体，衍射指数全偶或全奇时，衍射强度最强，而衍射指数中部分为奇或部分为偶的衍射峰消失。（200）、（220）或（222）衍射峰的的衍射指数全为偶数，但同时出现（110）衍射峰，这是部分为奇和部分为偶的情况，故可判断该晶体并非面心立方结构。对简单立方，只能出现偶数指数的衍射峰，由于（110）衍射峰的出现，可判断该晶体并非简单立方结构。对同种原子组成的体心立方晶体，晶胞中包含2个原子，其中一个在立方体顶角，另一个在立方体体心，它们的坐标分别为（000）和（1/2，1/2，1/2），得到衍射强度为220{1cos()sin()}hklIfnhklnhkl可见，当衍射指数之和为奇数时，反射消失，而对于衍射指数之和为偶数时，衍射加强（110）、（200）、（220）或（222）等衍射峰符合衍射指数之和为偶数的条件（衍射加强），而（100）、（300）、（111）或（221）等衍射峰符合衍射指数之和为奇数的条件（反射消失）因此，根据观察到的衍射峰特征可判断该晶体具有体心立方结构。2.11对面心立方的KBr晶体，其中K和Br离子各自组成一套面心格子，试通过分析论证该晶体的衍射谱图有何特征？解：对面心立方结构的晶体，晶胞中共包含4个原子，其中一个在立方体顶角，另三个在立方体面心，它们的坐标分别为（000）、（1/2，0，1/2）、（1/2，1/2，0）和（0，1/2，1/2），由此得到衍射强度为20121cos()cos()cos()sin()sin()sin()hklIffnhknhlnklfnhknhlnkl可见，对于衍射指数中部分为奇或部分为偶时，而对衍射指数全偶或全奇时201[]hklIff此时衍射强度最小201[]hklIff衍射强度最强2.12从形式上看，KCl非常相似KBr，但对KCl进行衍