专题8.3 空间角与综合问题-3年高考2年模拟1年原创备战2018高考精品系列之数学(理)(原卷版)

第八章立体几何专题3空间角与综合问题（理科）【三年高考】1.【2017课标II，理10】已知直三棱柱111CC中，C120，2，1CCC1，则异面直线1与1C所成角的余弦值为（）A．32B．155C．105D．332.【2017浙江，9】如图，已知正四面体D–ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP=PB，2BQCRQCRA，分别记二面角D–PR–Q，D–PQ–R，D–QR–P的平面角为α，β，γ，则A．γαβB．αγβC．αβγD．βγα3.【2017课标3，理16】a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最小值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）4．【2017课标1，理18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且90BAPCDP.（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，90APD，求二面角A-PB-C的余弦值.5．【2017天津，理17】如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，90BAC.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为721，求线段AH的长.6．【2016高考新课标1卷】平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,//平面CB1D1,I平面ABCD=m,I平面ABB1A1=n,则m、n所成角的正弦值为(A)32(B)22(C)33(D)137.【2016高考新课标2理数】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，5,6ABAC，点,EF分别在,ADCD上，54AECF，EF交BD于点H．将DEF沿EF折到DEF位置，10OD．（Ⅰ）证明：DH平面ABCD；（Ⅱ）求二面角BDAC的正弦值．8.【2016年高考北京理数】如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，1AB，2AD，5ACCD.（1）求证：PD平面PAB；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（3）在棱PA上是否存在点M，使得//BM平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由.9.【2016高考上海理数】将边长为1的正方形11AAOO（及其内部）绕的1OO旋转一周形成圆柱，如图，AC长为23，11AB长为3，其中1B与C在平面11AAOO的同侧。（1）求三棱锥111COAB的体积；（2）求异面直线1BC与1AA所成的角的大小。10.【2015高考浙江，理8】如图，已知ABC，D是AB的中点，沿直线CD将ACD折成ACD，所成二面角ACDB的平面角为，则（）A.ADBB.ADBC.ACBD.ACB11.【2015高考新课标2，理19】如图，长方体1111ABCDABCD中,=16AB，=10BC，18AA，点E，F分别在11AB，11CD上，114AEDF．过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．A1AB1BD1DC1CFEHGM（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（Ⅱ）求直线AF与平面所成角的正弦值．12.【2015高考新课标1，理18】如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.【2017考试大纲】空间向量及其运算(1)了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.DD1C1A1EFABCB1(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.2.空间向量的应用(1)理解直线的方向向量与平面的法向量.(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题,高考对立体几何的考查，可以发现均以规则几何体为背景，这样建立空间直角坐标系较为容易，考查学生的化归与转化能力、空间想象能力以及基本运算能力.【2018年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出,空间向量的坐标及运算，空间向量的应用，重点考查空间向量的应用求夹角、求距离.课本淡化了利用空间关系找角、求距离这方面内容的讲解，而是加大了向量在这方面内容应用的讲解，因此作为立体几何的解答题，用向量方法处理有关夹角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度，题型上空间的夹角和距离主要以主观题形式考查，但有时选择题、填空题也涉及，难度中等偏高，从高考试题来看，利用空间向量证明平行与垂直，以及求空间角是高考的热点，题型主要为解答题，难度属于中等，主要考查向量的坐标运算，以及向量的平行与垂直的充要条件，如何用向量法解决空间角问题等，同时注重考查学生的空间想象能力、运算能力．立体几何题型一般是一个解答题，1至2个填空或选择题．解答题一般与棱柱和棱锥相关，主要考查线线关系、线面关系和面面关系，其重点是考查空间想象能力和推理运算能力，其解题方法一般都有二种以上，并且一般都能用空间向量来求解．立体几何侧重考查学生的空间概念、逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力，近几年凡涉及空间向量应用于立体几何的高考试题，都着重考查应用空间向量求异面直线所成的角、二面角，证明线线平行、线面平行和证明异面直线垂直和线面垂直等基本问题.预测2018年高考，仍然以规则几何体为几何背景，第一问以线面垂直，面面垂直为主要考查点，第二问可能给出一个角，计算角的问题，常见的是异面直线所成的角，直线与平面所成的角，平面与平面所成的二面角，这类试题有一定的难度和需要一定的解题技巧，通常要把它们转化为相交直线所成的角；也有可能求距离，试题中常见的是点与点之间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，直线与直线的距离，直线到平面的距离，要特别注意解决此类问题的转化方法，有可能求点的位置或设置一个探索性命题，突出考查空间想象能力和逻辑推理能力，以及分析问题、解决问题的能力．复习建议：空间图形中的角与距离，先根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算”的有机统一.解题时注意各种角的范围.异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的范围是0°≤θ≤90°，其解法是作垂线、找射影；二面角0°≤θ≤180°.平面图形的翻折与空间图形的展开问题，要对照翻折（或展开）前后两个图形，分清哪些元素的位置（或数量）关系改变了，哪些没有改变.【2018年高考考点定位】对立体几何中的向量方法部分，主要以解答题的方式进行考查，而且偏重在第二问或者第三问中使用这个方法，考查的重点是使用空间向量的方法进行空间角和距离等问题的计算，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题．【考点1】空间向量【备考知识梳理】1．空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量.如位移、速度、力等相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移.2．向量运算和运算率baABOAOB，baOBOABA，)(RaOP加法交换律：.abba加法结合律：).()(cbacba数乘分配律：.)(baba说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.a平行于b记作a∥b.注意：当我们说a、b共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a、b平行时，也具有同样的意义.共线向量定理：对空间任意两个向量a（a≠0）、b，a∥b的充要条件是存在实数使b＝a注：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a∥b（a≠0），则有b＝a，其中是唯一确定的实数.②判断定理：若存在唯一实数，使b＝a（a≠0），则有a∥b（若用此结论判断a、b所在直线平行，还需a（或b）上有一点不在b（或a）上）.学科-网⑵对于确定的和a，b＝a表示空间与a平行或共线，长度为|a|，当0时与a同向，当0时与a反向的所有向量⑶若直线l∥a，lA，P为l上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导OP的表达式.推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式OPOAta①其中向量a叫做直线l的方向向量在l上取aAB，则①式可化为.)1(OBtOAtOP②当21t时，点P是线段AB的中点，则).(21OBOAOP③①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB的中点公式.[来源:中学学科网ZXXK]4．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在直线与平面平行或a在平面内，我们就说向量a平行于平面，记作a∥.注意：向量a∥与直线a∥的联系与区别.共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量共面向量定理如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x、y，使.byaxp①注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面.推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使,MByMAxMP④或对空间任一定点O，有.MByMAxOMOP⑤在平面MAB内，点P对应的实数对（,xy）是唯一的.①式叫做平面MAB的向量表示式又∵.,OMOAMA.,OMOBMB代入⑤，整理得.)1(OByOAxOMyxOP⑥由于对于空间任意一点P，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P就在平面MAB内；对于平面MAB内的任意一点P，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量MA、MB（或不共线三点M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件5．空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组,,xyz，使.czbyaxp说明：⑴由上述定理知，如果三个向量a、b、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是Rzyxczbyaxpp、、,|，这个集合可看作由向量a、b、c生成的，所以我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一