频率响应分析法(1)

1第5章控制系统的频率响应分析法2概述1、为什么要研究频率响应分析法：1）、频率特性有明确的物理意义；当元部件不能建立传递函数表达式时，可以通过实验方法绘制频率特性曲线，从而对系统进行分析。2）、利用频率响应分析法可以分析系统参数对闭环时域性能指标的影响。因此频率响应分析法和根轨迹法作为两种广泛应用的分析控制系统的工程分析方法，而且比根轨迹法应用更广泛。2、什么是频率响应分析法：根据系统的频率响应得到频率特性曲线来分析系统的各种性能指标的方法称为频率响应分析法。3§5-1频率特性的概念讨论线性定常系统（包括开环、闭环系统）在正弦输入信号作用下的稳态输出。设图5-1所示的线性定常系统的传递函数为其输入信号为(5-2)（5-1）)()()(sGsXsYG(s)X(s)Y(s)图5-1系统方框图tXtxsin)(4则输入信号的拉氏变换是(5-3)系统的传递函数通常可以写成(5-4)由此得到输出信号的拉氏变换(5-5)))(()(22jsjsXsXsX)())(()()()()(21nsssssssAsBsAsGnnnssassassajsbjsbjsjsXsssssssAsXsGsY221121))(()())(()()()()(5对上式进行拉氏反变换得到系统的输出为(5-6)对稳定系统,s1,s2,….sn都具有负实部，当时间t趋于无穷大时，上式的暂态分量将衰减至零。因此系统的稳态响应为(5-7)其中待定系数b和可按下式计算(5-8)(5-9)1212()nstjtjtststnytbebeaeaeaetjtjtWebbetyty)(lim)(jXjGjsjsjsXsGbjs2)()())(()(jXjGjsjsjsXsGbjs2)()())(()(b6G(jω)是一个复数，用模和幅角可表示为(5-10)(5-11)同样，G(-jω)可以表示为(5-12)将式(5-8)(5-9）以及式(5-10)(5-12)代入式(5-7)可得(5-13))()()(jejGjG)(Re)(Im)()(jGjGarctgjG)()()()()(jjejGejGjG()()()()()()()22()2()sin()jtjtjjWjtjtXeXeytGjeGjejjeeGjXjGjXt7或(5-14)式中为稳态输出信号的幅值。上式表明，线性定常系统对正弦输入信号的稳态响应仍然是与正弦输入信号同频率的正弦信号；输出信号的振幅是输入信号振幅的倍；输出信号相对输入信号的相移为；输出信号的振幅及相移都是角频率的函数。我们把(5-15)称为系统的频率特性，它反映了在正弦输入信号作用下，系统的稳态响应与输入正弦信号的关系。)sin()(tYtyWXjGY)()(jG)(jG)()()(jGjejGjG8其中(5-16)称为系统的幅频特性，它反映系统在不同频率正弦信号作用下，输出稳态幅值与输入信号幅值的比值，即系统的放大（或衰减）特性。(5-17)称为系统的相频特性，它反映系统在不同频率正弦信号的作用下，输出信号相对输入信号的相移。系统的幅频特性和相频特性统称为系统的频率特性。)(Re)(Im)()(jGjGarctgjG)()(XYjG9获取系统频率特性的途径有两个:一、解析法当已知系统的传递函数时，用代入传递函数可得到系统的频率特性G(jω)。因此，频率特性是特定情况下的传递函数。它和传递函数一样，反映了系统的内在联系。这种通过传递函数确定频率特性的方法是求取频率特性的解析法。二、实验法当系统已经建立，尚不知道其内部结构或传递函数时，在系统的输入端输入一正弦信号，测出不同频率时系统稳态输出的振幅Y和相移φ，便可得到它的幅频特性和相频特性。这种通过实验确定系统频率特性的方法是求取频率特性的实验法。tXSintX)()(YX)(返回jsjs10§5-2典型环节频率特性的绘制自动控制系统通常由若干环节构成，根据它们的基本特性，可划分成几种典型环节。典型环节的基本特性在第二章已经介绍，本节将介绍典型环节频率特性的绘制方法。系统或环节频率特性的绘制有多种方式，本节主要介绍应用较为广泛的极坐标图和伯德图。一、典型环节的幅相特性曲线（极坐标图）以角频率ω为参变量，根据系统的幅频特性和相频特性在复平面上绘制出的频率特性叫做幅相特性曲线或频率特性的极坐标图。它是当角频率从0到无穷变化时，矢量的矢端在平面上描绘出的曲线。曲线是关于实轴对称的。)(jG)(jG)(jGjejHjG)()(GH11由图5-2可看出放大环节的幅频特性为常数K，相频特性等于零度，它们都与频率无关。理想的放大环节能够无失真和无滞后地复现输入信号。（一）放大环节（比例环节）KjG)(KsG)(放大环节的传递函数为其对应的频率特性是（5-18）（5-19）.00mIKeR图5-2放大环节的频率响应频率特性如图5-2所示。KjG)(00)(jG其幅频特性和相频特性分别为（5-20）(5-21)12（二）积分环节积分环节的传递函数为（5-22）其对应的频率特性是（5-23）幅频特性和相频特性分别为（5-24）（5-25）频率特性如图5-3所示。由图可看出，积分环节的相频特性等于-900，与角频率ω无关，ssG1)(jjG1)(11)(jjG0900)(arctgjG图5-3积分环节的频率响应eRmI0G09013表明积分环节对正弦输入信号有900的滞后作用；其幅频特性等于，是ω的函数，当ω由零变到无穷大时，输出幅值则由无穷大衰减至零。在平面上，积分环节的频率特性与负虚轴重合。（三）惯性环节惯性环节的传递函数为（5-26）其对应的频率特性是（5-27）幅频特性和相频特性分别是1)(jG11)(TssG11)(jTjG14（5-28）(5-29)当时，；当时，；当时，。当ω由零至无穷大变化时，惯性环节的频率特性在平面上是正实轴下方的半个圆周，证明如下：（5-30）令（5-31）2211)(TjGarctgTjG)(01)0(jG00)0(jGT1707.021)1(TjG045)1(TjG0)(jG090)(jG)(jG222211111)(TTjTjTjG)(11)(Re22uTjG15（5-32）则有（5-33）这是一个标准圆方程，其圆心坐标是，半径为。且当ω由时，由，说明惯性环节的频率特性在平面上是实轴下方半个圆周，如图5-4所示。惯性环节是一个低通滤波环节和相位滞后环节。在低频范围内，对输入信号的幅值衰减较小，滞后相移也小，在高频范围内，幅值衰减较大，滞后相角也大，最大滞后相角为900。)(1)(Im22vTTjG2222222222112111)(21)(TTTvu0,21210)(jG00900)(jG16推广：当惯性环节传递函数的分子是常数K时，即时，其频率特性是圆心为，半径为的实轴下方半个圆周。四）振荡环节振荡环节的传递函数是（5-34）其频率特性是幅频特性和相频特性分别为1)(jTKjG0,2K2K121)(22TssTsGTjTTjTjG2)1(1121)(22222222224)1(1)(TTjG.045010.5T/1图5-4惯性环节的频率响应mIG0eR(5-35)(5-36)17（5-37）当时，，；当时，，；当时，，。振荡环节的幅频特性和相频特性均与阻尼比ξ有关，不同阻尼比的频率特性曲线如图5-5所示。同时，当阻尼比较小时，会产生谐振，谐振峰值和谐振频率由幅频特性的极值方程解出。（5-38）（5-39）2212)(TTarctgjG1)(jG21)(jG000)(jGT1090)(jG0)(jG0180)(jG)1(rrMMr041)(222222TTddjGdd)210(2121122nrT18其中称为振荡环节的无阻尼自然振荡频率，它是振荡环节频率特性曲线与虚轴的交点处的频率。将代入得到谐振峰值为（5-40）将代入得到谐振相移φr为Tn1r)(jGrM)210(121)(2rrjGMr)(jG2021arcsin9021)(arctgjGrr(5-41)nnrM0nnr0mIr1eRG图5-5振荡环节的频率响应19振荡环节的幅值特性曲线如图5-6所示。在的范围内，随着ω的增加，缓慢增大；当时，达到最大值；当时，迅速减小，时的频率称为截止频率；频率大于后，输出幅值衰减很快。当阻尼比时，此时振荡环节可等效成两个不同时间常数的惯性环节的串联，即r0)(MrrM)(Mr)(M707.0)(Mcc11)(M707.00crrM图5-6振荡环节的频率响应11111)(21sTsTsGT1，T2为一大一小两个不同的时间常数，小时间常数对应大的负实极点，离虚轴较远，对瞬态响应的影响较小。20振荡环节为一相位滞后环节，最大滞后相角是1800。推广：当振荡环节传递函数的分子是常数K时，即，其对应频率特性的起点为。（五）一阶微分环节典型一阶微分环节的传函数为（5-43）其中τ为微分时间常数、1为比例项因子，因此，严格地说，由式（5-43）表示的是一阶比例微分环节的传递函数，由于实际的物理系统中理想微分环节或纯微分环节（即不含比例项）是不存在的，因此用比例微分环节作为一阶微分环节的典型形式。12)(22TssTKsG)(jG000)0(,)0(jGKjG1)(ssG21（5-44）幅频特性和相频特性分别为（5-45）（5-46）当时，，；当时，，；当时，，。1)(jjG1)(22jGarctgjG)(01)0(jG00)0(jG12)1(jG045)1(jG)(jG090)(jG频率特性如图5-7所示。它是一条过点（1，j0）与实轴垂直相交且位于实轴上方的直线。纯微分环节的频率特性与正虚轴重合。1eR0mIG0G图5-7一阶微分环节的频率响应22（六）二阶微分环节二阶微分环节的传递函数为（5-47）其对应的频率特性是（5-48）幅频特性和相频特性分别为（5-49）（5-50）12)(22sssG12)(22jjG22222241)(jG2212)(arctgjG01)0(jG00)0(jG12)1(jG090)1(jG)(jG0180)(jG23二阶微分环节频率特性曲线如图5-8所示，它是一个相位超前环节，最大超前相角为180o。图5-8二阶微分环节频率特性图1)1(2mIeR00G11)(TssG11)(jTjG（七）不稳定环节不稳定环节的传递函数为（5-51）不稳定环节有一个正实极点，对应的频率特性是(5-52)24幅频特性和