债券价格的利率敏感性

固定收益证券李磊宁中央财经大学金融工程系第四讲:债券价格的利率敏感性主讲教师：李磊宁单位：中央财经大学金融工程系主讲课程：《金融工程学》/《固定收益证券》联系方式：√电子邮件：[e-mail]内容提要久期1凸性2久期的定义与计算久期与票息率、到期收益率、剩余期限的关系债券组合的久期凸性的定义与计算凸性的性质久期与凸度的简单应用3基点价值表示当收益率变动一个基点时，百万面值(或百元面值)的债券价格的绝对变动额.基点价值计算的例子---1263100001263.0/int1263.0)/(8651.106%4238.79914.106%4138.7212211ypPVBPpobasisoneyppyppypy基点价值久期久期的定义与计算(第一种含义)久期(duration)是债券现金流发生的加权平均时间，权重是各次现金流的现值与债券市值的比重（麦考利久期）公式：TtttBictD1)1(久期久期的计算(第一种含义)票息率为5%、期满日为3年的国债正在平价交易，其久期为859.2100%)51(1053100%)51(52100%)51(51321DtTtticB1]1[tTttttTtitciictdidB111)1(11)1()(DiBictiBdidBntt11)1(1111didBBiD1didBBDm1久期久期久期的定义(第二种含义)久期是债券价格(针对利率的)变化率乘以1加上利率修正久期是债券价格(针对利率的)的变化率didBBiD1didBBDm1久期债券价格的变动率债券价格的变动率是修正久期与利率变动量的乘积例如,某债券的修正久期是4，表明当利率下降（上涨）1%时，债券价格将上涨（下降）4%。diDBdBm%4%14BdB久期久期与票息率的关系如果其他变量保持不变，当票息率（c/BT）增大时，则债券久期变小；反之，当票息率变小时，久期增大。TTTTiiiBcBiB)1(1)1(11/)(})1(])1(1)[/{(1TTTTiiBciBBdidBBiD1iiBciBciTiDTTT]1)1)[(/()1()/(11将该式考虑在内久期两边取对数并对i求导024681012141618206.577.588.599.510c(%)d/md图债券久期、修正久期随息票率变动示意图久期修正久期久期“21国债（10）”的息票率从1%变动到20%时，该债券的久期和修正久期如何变化久期久期与收益率的关系久期对利率的一阶导数小于零，意味着久期与利率的反向关系：当其他条件不变时，利率上升，久期缩短；利率下降，久期变长TttTttTttTttTttTttDtwiDtDtwiwDtwDwtiDwtididD12112211211212121)()1()2()1(2)1()1()()1(iBicwttt久期TttDtwS12)(债券现金流发生时间的方差现金流的权重01020304050607080901007.588.59i(0/oo)d/md图债券久期、修正久期与利率变动关系示意图久期修正久期收益率从1%变动到20%时，21国债（10）”的久期和修正久期如何变化。久期久期久期与剩余到期时间的关系010203040506070809010005101520253035t(year)d/md图债券久期、修正久期与距离到期日时间关系示意图久期修正久期对于零息债券而言，久期就是其剩余期限，所以，零息债券的剩余期限严格与久期成正比；对于附息债券，随着到期日的延长，久期也增大，但有一个极限（1+1/i）久期债券组合的久期债券组合的久期是构成组合的各个债券久期的加权平均权重是各个券种的市值占债券组合总市值的比重注意：采用这种简单的方式计算组合的久期必须有严格的假定前提，那就是利率期限结构是扁平的并且其形状与位置都保持不变1,)()(,11njjjjnjjjpXiPiBXDXD凸性凸性的定义与计算定义：凸性（convexity）即债券价格曲线的曲率，反映了该曲线的弯曲程度。价格曲线弯曲的程度越大，凸性就越大。债券价格市场利率0图4-1：债券价格曲线图例子---某债券票息率7.25%,当前价格100.40695,当前YTMis是7.216%.试比较发生以下两种情况时,债券实际价格与由久期预计的价格变动的差别:(1)收益率增加1basispoint(2)收益率增加200basispoints凸性(1)收益率增加一个基点后的新价格是100.28478.PVBP是(100.40695-100.28478)*10000=1223,MD=12.12%1212.010001.012.12yMDPP凸性凸性%24.2410020012.12yMDPP(2)收益率增加200基点后所以由修正久期预测的新价格是100.40695*(1-24.24%)=76.06831凸性凸性我们用新的收益率(9.216%)算出的实际价格是80.16387.所以,实际价格变化是100.40695-80.16387=20.24308而由久期预测的变化是100.40695*0.2424=24.33865差别由债券价格曲线的凸性造成,这个差别是24.33865-20.24308=4.09557凸性凸性7.216%9.216%80.1638776.0683差异收益率价格100.40695凸性凸性ttTticttiBdiBdBdidBdidBC)1()1()1(1111222njjjpCXC1凸性的算式组合的凸性凸性凸性考虑凸性以后债券价格波动的估计线性一次逼近二次逼近i*i*+ΔiB*B*+ΔB321有效的债券价格市场收益率价格2)(21diCdiDBBm收益率债券价格债券A债券B凸性债券A相对于债券B的凸性大，所以A的价格往往高于B凸性凸性的性质凸性的大小与利率、久期和债券现金流发生时间的方差三个因素有关；凸性与利率呈反向关系，与久期与债券现金流发生时间的方差呈正向关系；长期债券的凸性大于短期债券的凸性，因为前者的久期比较长；如果两个债券组合有相同的久期，则常常是由若干不同的债券组成的债券组合的凸性大于由单一债券构成的债券组合的凸性，因为前者债券现金流发生时间的方差往往大于后者)]1([)1(2DDSiC久期与凸性的简单应用解决资产与负债的期限匹配某一金融机构未来有一系列债务Lt，同时也有一系列的资产收入At，这些债务或者资产可以看作是一系列的零息债券。如果所有期限的利率水平为i，资产与债务的当前价值A0和L0是相同的，把它们放在一起就是一个投资组合N，令N=A0-L0，TtttiLL10)1(TtttiAA10)1(0101)1()1(LitLDAitADTtttLTtttA资产的久期债务的久期0)1)((tttiLAdiddidN无论利率如何变化，投资组合N将来的价值变化为零0)()1()1)(()1(00111ADLDiiALtididNALTtttt只有DA=DL，即资产的久期与负债的久期相等，才能基本保证投资组合在利率变化时价值变化为零。如果再加上凸性相等，就能够完全匹配资产与债务。久期与凸性的简单应用构建对冲债券投资组合市值相同组合久期和凸性相同做空对冲债券投资组合即可完全规避利率风险构建凸性增强债券投资组合市值相同久期相同用多种债券构造凸性更高的债券投资组合国债品种简称到期收益率久期凸度理论价格10年02国债(3)0.020512.37236.9164102.480010年05国债(1)0.032554.719526.1699106.483615年05国债(12)0.038668.844093.754499.7264组合市值10万元。各债券的市值权重相同，即各占债券组合总市值的1/3。2009年10月29日这一天组合的久期和凸度分别为5.31和42.28。债券投资组合（2009年10月29日）久期与凸性的简单应用构建对冲债券投资组合国债品种简称息票率到期日付息频率2009-10-29收盘价7年03国债(7)2.662010-8-201次/年100.810年06国债(3)2.82016-3-272次/年96.4820年03国债(3)3.42023-4-172次/年94.16国债品种简称到期收益率久期凸度理论价格7年03国债(7)0.016410.80321.0434101.310110年06国债(3)0.034165.789038.238696.727520年03国债(3)0.0396410.5991134.259694.2721用于对冲的债券组合用于对冲的债券组合的属性215.41份“03国债(7)”、677.32份“06国债(3)”以及134.32份“03国债(3)”。构建对冲债券投资组合久期与凸性的简单应用久期与凸性的简单应用构建凸性增强债券投资组合增强凸性的重要措施就是尽量用债券组合代替单一债券，因为债券组合的现金流发生时间的方差往往大于单个债券，在久期相同的情况下，现金流发生时间的方差大小对凸性有决定性的作用，方差越大，凸性越强。久期与凸性的简单应用构建凸性增强债券投资组合x、y、z是三个不同的债券，我们希望x、y构成一个组合来代替z。设Nx、Ny、Nz分别代表这三种债券的数量，Bx、By、Bz分别代表这三种债券的价格，Dx、Dy、Dz分别代表这三种债券的久期，组合构造的原则就是“市值相同、久期相同”zyzzyyxzzxxzzyyxxDDBNBNDBNBNBNBNBN)()()()(xyyxzzzyxyxyzzzxDDBDDBNNDDBDDBNN久期与凸性的简单应用构建凸性增强债券投资组合现有债券的基本情况：假设投资者只拥有“2006年记账式(三期)国债”债券这一种债券，其价值为100000元。该债券简称“06国债（3）”，该债券的发行日期为2006年3月27日，期限10年，半年付息一次，利息支付日为每年3月27日和9月28日，票面利率为2.8%，到期日为2016年3月27日。在2009年10月29日这天，其久期和凸度分别为5.8878和38.2386凸性的简单应用投资者用于凸性增强的债券组合设定凸性增强目标市值、久期不变，凸性增强至40据此计算对冲债券组合中各债券的权重，进而计算其数量40.37份“03国债（8）”833.33份“05国债（1）”165.61份“02国债（13）”