【原创】2013年高考数学二轮复习课件：第6讲三角恒等变换与三角函数(全国通用)

专题二三角函数、平面向量与解三角形第6讲三角恒等变换与三角函数考点统计题型(频率)考例(难度)考点1三角恒等变换选择(5)填空(1)2012辽宁卷7(A)，2012广东卷16(B)，2012江西卷4(A)考点2三角函数的图象与解析式选择(4)填空(1)解答(1)2012北京卷15(B)，2012安徽卷16(B)，2012浙江卷4(B)考点3三角函数性质及综合问题选择(2)解答(8)2012课程标准卷9(B)，2012四川卷18(B)说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题．频率为分析2012各省市课标卷情况．命题角度：该部分的命题主要围绕三个点展开．第一个点是围绕三角恒等变换展开，考查使用和、差角公式，倍角公式，诱导公式，同角三角函数关系等进行变换求值问题，试题难度不大；第二个点是围绕三角函数的图象展开，考查根据三角函数图象求函数解析式、根据函数解析式判断函数图象、三角函数图象与性质的综合等问题；第三个点是围绕三角函数性质展开，考查根据三角函数解析式研究函数性质，根据三角函数性质推断函数解析式中的参数等问题．预计2013年的考查会延续近几年的命题方向，主要考查简单的三角恒等变换、三角函数的图象与性质的应用．复习建议：根据课标区五年来对该部分的考查情况，该部分无论在考查难度还是在考查量(分值)上都与其地区有较大的差异，五年来没有出现一道解答题，即使是选择题、填空题其大多数的难度也都在A，B两个层级，安徽、广东、陕西等其他新课标省份每年都单独考查一个三角恒等变形、三角函数图象及性质的解答题，难度不大，因此复习该部分时主要以基础为主，注重小题为主，兼顾大题，不要过分展开．1.三角函数定义、同角关系与诱导公式(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(2)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα.(3)诱导公式：在360°±α，180°±α，－α，90°±α，270°±α的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(1)图象的记忆：根据正弦函数图象过(0,0)、余弦函数图象过(0,1)、正切函数图象过(0,0)及在各象限的符号记忆；(2)性质的记忆：由正弦函数、余弦函数、正切函数的图象理解各函数的性质，包括：定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、周期性．3．y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期是2π|ω|，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期是π|ω|.其定义域、值域、单调性等性质结合y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的性质理解．5.恒等变换公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ，cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ，tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ，sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.►探究点一三角恒等变换例1(1)设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为()A．－3B．－1C．1D．3(2)[2012·山东卷]若θ∈π4，π2，sin2θ＝378，则sinθ＝()A.35B.45C.74D.34[思考流程](1)(分析)欲求tan(α＋β)需求tanα＋tanβ，tanαtanβ⇨(推理)根据已知使用韦达定理可得⇨(结论)整体代入正切和角公式计算即可；(2)(分析)欲求sinθ只要求出sin2θ⇨(推理)根据二倍角余弦公式只要求出cos2θ⇨(结论)根据已知和同角三角函数关系可得．[解析](1)因为tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，所以tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝31－2＝－3.(2)∵θ∈π4，π2，sin2θ＝378，∴cos2θ＝－1－3782＝1－2sin2θ，解之得sinθ＝34.三角恒等变换的几种问题[答案](1)A(2)D[规范评析]三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可．本例(1)从整体上求解，实际上也可以直接求出tanα，tanβ的值，再代入和角正切公式求解；本例(2)的主要问题是使用同角三角函数关系和降幂公式，在开方时符号的选取，其基本原则是依据角所在的象限确定三角函数值的符号．变式题(1)若tan(π－α)＝－13，则cos2αsin2α＋cos2α的值为()A.83B.85C．－87D.815(2)设α，β都是锐角，且cosα＝55，sin(α＋β)＝35，则cosβ＝()A.2525B.255C.525或55D.255或2525[答案](1)D(2)D[解析](1)根据已知得tanα＝13，cos2αsin2α＋cos2α＝cos2α－sin2α2sinαcosα＋cos2α.方法1：将上式分子分母同时除以cos2α，得原式＝1－tan2α2tanα＋1＝1－1923＋1＝815.方法2：变换tanα＝13为cosα＝3sinα，代入上式，得原式＝9sin2α－sin2α6sin2α＋9sin2α＝815.(2)根据已知，得sinα＝255，cos(α＋β)＝±45.若cos(α＋β)＝45，则cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝45×55＋35×255＝255；若cos(α＋β)＝－45，则cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－45×55＋35×255＝2525.►探究点二三角函数的图象与解析式例2(1)[2012·浙江卷]把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是()图2－6－1(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的部分图象如图2－6－2所示，则将y＝f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到的图象解析式为()图2－6－2A．y＝sin2xB．y＝cos2xC．y＝sin2x＋2π3D．y＝sin2x－π6[思考流程](1)(分析)欲得函数图象需得函数解析式⇨(推理)根据函数图象变换法则得函数解析式⇨(结论)根据函数解析式和选项中的图象判断之．(2)(分析)欲求所要的函数解析式需求f(x)的解析式，需求A，ω，φ⇨(推理)根据函数图象可得最大值、四分之三周期、函数在x＝π6处的函数值，逐次解之⇨(结论)以x－π6代替x即得所求．[解析](1)根据题设条件得到变化后的函数为y＝cos(x＋1)，结合函数图象可知选项A符合要求．故选A.(2)由图象知A＝1，34T＝11π12－π6＝3π4，T＝π⇒ω＝2，由sin2×π6＋φ＝1及|φ|π2，得π3＋φ＝π2⇒φ＝π6⇒f(x)＝sin2x＋π6，则图象向右平移π6个单位后得到的图象解析式为y＝sin2x－π6＋π6＝sin2x－π6，故选D.常见三角函数图象与解析式问题[答案](1)A(2)D[规范评析]根据函数解析式得出函数图象时要注意对已知的函数解析式进行恒等变换，把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后再根据函数图象的变换法则找出符合要求的函数图象；根据函数图象得出函数解析式时，要善于根据函数图象上反映出的函数性质、特殊点的坐标确定函数解析式中的待定系数．变式题(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω0，|φ|π2，x∈R的部分图象如图2－6－3所示，则()A．f(x)＝－4sinπ8x＋π4B．f(x)＝4sinπ8x－π4C．f(x)＝－4sinπ8x－π4D．f(x)＝4sinπ8x＋π4图2－6－3(2)设f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0,0φπ)为奇函数，该函数的部分图象如图2－6－4所示，△EFG是边长为2的等边三角形，则f(1)的值为()A．－32B．－62C.3D．－3图2－6－4[解析](1)由图象可知T2＝6－(－2)＝8＝2π2ω，所以ω＝π8.又图象过(－2,0)得π8×(－2)＋φ＝0⇒φ＝π4.所以f(x)＝Asinπ8x＋π4.又(2，－4)在函数图象上，所以A＝－4，故选A.[答案](1)A(2)D(2)由题意，函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为4，所以2π|ω|＝4，解得ω＝π2(ω0)．因为函数f(x)为奇函数，所以φ＝kπ＋π2(k∈Z)．又0φπ，所以φ＝π2.因为△EFG是边长为2的等边三角形，所以点E的纵坐标是2×32＝3.故A＝3(A0)．所以f(x)＝3cosπ2x＋π2.所以f(1)＝3cosπ＝－3.故选D.►探究点三三角函数的性质与综合问题例3(1)[2012·湖南卷]函数f(x)＝sinx－cosx＋π6的值域为()A．[－2,2]B．[－3，3]C．[－1,1]D.－32，32(2)[2012·课程标准卷]已知ω0，函数f(x)＝sinωx＋π4在π2，π单调递减，则ω的取值范围是()A.12，54B.12，34C.0，12D．(0,2][思考流程](1)(分析)欲求函数f(x)值域需化f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式⇨(推理)把cosx＋π6展开重组即可⇨(结论)据三角函数性质得出值域；(2)(分析)欲求ω的范围需得ω满足的不等式⇨(推理)根据已知π2ω＋π4，πω＋π4需在函数y＝sinx的单调递减区间内⇨(结论)得出不等式解之．[解析](1)函数f(x)＝sinx－cosx＋π6＝32sinx－32cosx＝3sinx－π6，所以函数f(x)＝sinx－cosx＋π6的值域为[－3，3]，故选B.三角函数的性质与综合问题[答案](1)B(2)A(2)函数y＝sinx单调递减区间为π2＋2kπ，3π2＋2kπ，由于函数f(x)＝sinωx＋π4在区间π2，π单调递减，所以区间π2ω＋π4，πω＋π4⊆π2＋2kπ，3π2＋2kπ，所以π2＋2kπ≤π2ω＋π4且πω＋π4≤3π2＋2kπ，解得ω≥4k＋12且ω≤2k＋54，取k＝0即得12≤ω≤54.[规范评析]三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式变换函数解析式．三角函数的值域、三角函数的单调性也可以使用导数的方法进行研究．•规律解答三角函数的图象与性质类的试题，变换是核心，把三角函数的解析式通过变换，化为正弦型、余弦型、正切型函数，然后再根据正弦函数、余弦函数和正切函数的性质进行研究．•技巧1.角的变换技巧，如2α＝(α＋β)＋(α－β)＝(2α＋θ)－θ＝12·4α等，基本原则是化未知为已知．2．当已知sinα±cosα时，可以与同角三角函数关系联合使用，同时注意(sinα±cosα)2＝1±sin2α，利用这个关系可进行换元，如求y＝sinx＋cosx＋sin2x的值域，只要令t＝sinx＋cosx，则sin2x＝t2－1，即化为求y＝t2＋t－1，t∈[－2，2]的值域．•易错1.求三角函数值域时，在自变量的范围内存在函数最值时容易出错，如求y＝sin2x＋π3在0，π4上的值域，此时2x＋π3∈π3，5π6