高中数学圆的方程拔高讲义

新翰教育新翰教育个性化教学教案1新翰教育个性化教学辅导教案授课时间：年月日（星期）姓名年级时间段教学课题圆的方程教学过程1、圆的方程：⑴圆的标准方程：222xaybr。⑵圆的一般方程：22220(DE4F0)＋－xyDxEyF，特别提醒：只有当22DE4F0＋－时，方程220xyDxEyF才表示圆心为(,)22DE，半径为22142DEF的圆（二元二次方程220AxBxyCyDxEyF表示圆的充要条件是什么？（0,AC且0B且2240DEAF））；(3)1122A,,,xyBxy为直径端点的圆方程12120xxxxyyyy如（1）圆C与圆22(1)1xy关于直线yx对称，则圆C的方程为____________；（2）圆心在直线32yx上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________；（3）l将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l的斜率的取值范围是_________；（4）方程x2+y２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为__________；2、点与圆的位置关系：已知点00M,xy及圆222C0：x-aybrr，（1）点M在圆C外22200CMrxaybr；（2）点M在圆C内22200CMrxaybr；（3）点M在圆C上20CMrxa220ybr。如点P(5a+1,12a)在圆(x－１)２＋y2=1的内部,则a的取值范围是______3、直线与圆的位置关系：直线:0lAxByC和圆222C：xaybr0r有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：0相交；0相离；0相切；（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d，则dr相交；dr相离；dr相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。如（1）圆12222yx与直线sin10(,2xyRk，)kz的位置关系为____；（2）若直线30axby与圆22410xyx切于点(1,2)P，则ab的值____；（3）直线20xy被曲线2262xyxy150所截得的弦长等于；（4）一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是；（5）已知圆C：22(1)5xy，直线L：10mxym。①求证：对mR，直线L与圆C总有两个不同的交点；②设L与圆C交于A、B两点，若17AB，求L的倾斜角；③求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程.4、圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为新翰教育新翰教育个性化教学教案212OO，，半径分别为12,rr，则（1）当1212|OOrr时，两圆外离；（2）当1212|OOrr时，两圆外切；（3）当121212|OOrrrr时，两圆相交；（4）当1212|OO|rr时，两圆内切；（5）当12120|OO|rr时，两圆内含。5、圆的切线与弦长：(1)切线：①过圆222xyR上一点00(,)Pxy圆的切线方程是：200xxyyR，过圆222()()xaybR上一点00(,)Pxy圆的切线方程是：200()()()()xaxayayaR，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径）；②从圆外一点引圆的切线一定有两条，设A为圆1)1(22yx上动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为________；（2）弦长问题：常用弦心距d，弦长一半12a及圆的半径r所构成的直角三角形来解：2221()2rda；6.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)!已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1，③圆心到直线l:x-2y=0的距离为55，求该圆的方程.如图，已知⊙M：x2+(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，⑴如果324||AB，求直线MQ的方程；⑵求动弦AB的中点P的轨迹方程.OxyQABPM新翰教育新翰教育个性化教学教案3高考题1.（北京卷7）过直线yx上的一点作圆22(5)(1)2xy的两条切线12ll，，当直线12ll，关于yx对称时，它们之间的夹角为2.（安徽卷8）．若过点(4,0)A的直线l与曲线22(2)1xy有公共点，则直线l的斜率的取值范围为3.（山东卷11）已知圆的方程为08622yxyx.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为4.（陕西卷5）直线30xym与圆22220xyx相切，则实数m等于5.（重庆卷3)圆O1:0222xyx＋和圆O2:0422yyx＋的位置关系是6.（天津卷15）已知圆C的圆心与点(2,1)P关于直线1yx对称．直线34110xy与圆C相交于BA,两点，且6AB，则圆C的方程为__________________．7.（四川卷14）已知直线:40lxy与圆22:112Cxy，则C上各点到l的距离的最小值为_______。8.（重庆卷15）直线l与圆04222ayxyx－＋＋(a3)相交于两点A，B，弦AB的中点为（0，1），则直线l的方程为.9.（广东卷11）经过圆2220xxy的圆心C，且与直线0xy垂直的直线方程是．10.已知菱形ABCD的顶点AC，在椭圆2234xy上，对角线BD所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线BD过点(01)，时，求直线AC的方程；（Ⅱ）当60ABC时，求菱形ABCD面积的最大值．11.（江苏卷18）设平面直角坐标系xoy中，设二次函数22fxxxbxR的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求：新翰教育新翰教育个性化教学教案4（Ⅰ）求实数b的取值范围；（Ⅱ）求圆C的方程；（Ⅲ）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论．类型一：圆的方程例1求过两点)4,1(A、)2,3(B且圆心在直线0y上的圆的标准方程并判断点)4,2(P与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P与圆的位置关系，只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(rbyax．∵圆心在0y上，故0b．∴圆的方程为222)(ryax．又∵该圆过)4,1(A、)2,3(B两点．∴22224)3(16)1(rara解之得：1a，202r．所以所求圆的方程为20)1(22yx．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A、)2,3(B两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，又因为13124ABk，故l的斜率为1，又AB的中点为)3,2(，故AB的垂直平分线l的方程为：23xy即01yx．又知圆心在直线0y上，故圆心坐标为)0,1(C∴半径204)11(22ACr．故所求圆的方程为20)1(22yx．新翰教育新翰教育个性化教学教案5又点)4,2(P到圆心)0,1(C的距离为rPCd254)12(22．∴点P在圆外．例2求半径为4，与圆042422yxyx相切，且和直线0y相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(rbyaxC：．圆C与直线0y相切，且半径为4，则圆心C的坐标为)4,(1aC或)4,(2aC．又已知圆042422yxyx的圆心A的坐标为)1,2(，半径为3．若两圆相切，则734CA或134CA．(1)当)4,(1aC时，2227)14()2(a，或2221)14()2(a(无解)，故可得1022a．∴所求圆方程为2224)4()1022(yx，或2224)4()1022(yx．(2)当)4,(2aC时，2227)14()2(a，或2221)14()2(a(无解)，故622a．∴所求圆的方程为2224)4()622(yx，或2224)4()622(yx．说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线0y相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(aC，且方程形如2224)4()(yax．又圆042422yxyx，即2223)1()2(yx，其圆心为)1,2(A，半径为3．若两圆相切，则34CA．故2227)14()2(a，解之得1022a．所以欲求圆的方程为2224)4()1022(yx，或2224)4()1022(yx．上述误解只考虑了圆心在直线0y上方的情形，而疏漏了圆心在直线0y下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．例3求经过点)5,0(A，且与直线02yx和02yx都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A，故只需确定圆心坐标．又新翰教育新翰教育个性化教学教案6圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02yx与02yx相切，∴圆心C在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02yx和02yx的距离相等．∴5252yxyx．∴两直线交角的平分线方程是03yx或03yx．又∵圆过点)5,0(A，∴圆心C只能在直线03yx上．设圆心)3,(ttC∵C到直线02yx的距离等于AC，∴22)53(532tttt．化简整理得0562tt．解得：1t或5t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55．∴所求圆的方程为5)3()1(22yx或125)15()5(22yx．说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例4、设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2；(2)被x轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02yxl：的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(baP，半径为r．则P到x轴、y轴的距离分别为b和a．由题设知：圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为90，故圆截x轴所得弦长为r2．新翰教育新翰教育个性化教学教案7∴222br又圆截y轴所得弦长为2．∴122ar．又∵),(baP到直线02yx的距离为52bad∴2225badabba4422)(242222baba1222ab当且仅当ba时取“=”号，此时55mind．这时有1222abba∴11ba或11ba又2222br故所求圆的方程为2)1()1(22