2011高考数学总复习课件4.6 正弦定量和余弦定理

§4.6正弦定理和余弦定理要点梳理1.正弦定理:,其中R是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为:（1）a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;（2）a=,b=,c=;（3）等形式,以解决不同的三角形问题.RCcBbAa2sinsinsin2RsinCRcCRbBRaA2sin,2sin,2sin2RsinA2RsinB基础知识自主学习2.余弦定理:a2=,b2=,c2=.余弦定理可以变形为:cosA,cosB=,cosC=.3.·r（r是三角形内切圆的半径）,并可由此计算R、r.b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosCbcacb2222acbca2222abcba2222)(214sin21sin21sin21cbaRabcBacAbcCabSABC4.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：（1）已知两角及任一边，求其它边或角；（2）已知两边及一边的对角，求其它边或角.情况（2）中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分.余弦定理可解决两类问题：（1）已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；（2）已知三边问题.5.解三角形的类型在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式解的个数一解两解一解一解AbasinbaAbsinbaba基础自测1.（2008·陕西理，3）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若c=,b=,B=120°,则a等于（）A.B.2C.D.解析26632,sinsinCcBb由正弦定理得.2.3030120180,30,216120sin2sinsincaACbBcCD2.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c=2a,则cosB等于()A.B.C.D.解析由已知得b2=ac,c=2a,41434232.434252cos222222aaaacbcaBB3.在△ABC中，A=60°,a=4,b=4,则B等于（）A.45°或135°B.135°C.45°D.以上答案都不对解析由正弦定理得又∵ab,A=60°,∴B=45°.32,sinsinBbAa.2260sin3424sin,sin2460sin34BB即C4.已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc=16，则三角形的面积为（）A.B.C.D.解析22228222,82sinsinsinRCcBbAa.2216161161sin21,8sinabcCabScCABCC5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若∠B=45°，b=，a=1，则∠C=.解析∵ab,∠B=45°,∴∠A为锐角.∴∠C=180°-30°-45°=105°..30,21sin,sin145sin2AAA得由105°2题型一正弦定理的应用(1)在△ABC中,a=,b=,B=45°.求角A、C和边c；（2）在△ABC中，a=8，B=60°，C=75°.求边b和c；（3）在△ABC中，a，b，c分别是∠A,∠B,∠C的对边长，已知a，b，c成等比数列，且a2-c2=ac-bc，求∠A及的值.已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的个数的判断.【例1】32cBbsin思维启迪题型分类深度剖析解.23sinsinsin)1(ABbAa得由正弦定理∵ab,∴A=60°或A=120°.当A=60°时，C=180°-45°-60°=75°,;226sinsinBCbc当A=120°时，C=180°-45°-120°=15°..226sinsinBCbc.226,15,120.226,75,60cCAcCA或(2)∵B=60°,C=75°,∴A=45°.（3）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，又∵a2-c2=ac-bc，∴b2+c2-a2=bc.在△ABC中，由余弦定理得.434sinsin,64sinsinsinsinsinaACcaABbCcBbAa得由正弦定理.60,212cos222AbcacbA（1）已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.（2）已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意..2360sin60sinsin,60,.sinsin,Δ22acbcBbAacbaAbBABC由正弦定理得中在探究提高知能迁移1在△ABC中，若b=,c=1,B=45°,求a及C的值.解由正弦定理得因为cb,所以CB,故C一定是锐角，所以C=30°,所以A=105°，.21sin,sin145sin2CC所以.226105sin2,105sin30sin1aa所以所以2题型二余弦定理的应用在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求△ABC的面积.由利用余弦定理转化为边的关系求解.解（1）由余弦定理知：【例2】.2coscoscabCB13思维启迪,2coscoscabCB,2cos222acbcaB.2cos222abcbaC.32,2122cos:222:2coscos222222222222BBacacacbcaBacbcacabcbaabacbcacabCB为三角形的内角整理得得将上式代入.433sin21.3),211(216cos22)(,cos232,4,13)2(222222BacSacacbBacaccabBaccabBcabABC得代入将(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键.（2）熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.探究提高知能迁移2已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2-c2，求tanC的值.解依题意得absinC=a2+b2-c2+2ab,由余弦定理知,a2+b2-c2=2abcosC.所以,absinC=2ab(1+cosC),即sinC=2+2cosC,.342tan12tan2tan.22tan:,2cos42cos2sin222CCCCCCC从而化简得所以题型三三角形形状的判定在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.利用正弦定理、余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系.解方法一已知等式可化为a2［sin（A-B）-sin（A+B）］=b2［-sin（A+B）-sin(A-B)］∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA由正弦定理可知上式可化为：sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA【例3】思维启迪∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0∴sin2A=sin2B,由02A,2B2π得2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A=-B,∴△ABC为等腰或直角三角形.方法二同方法一可得2a2cosAsinB=2b2sinAcosB由正、余弦定理,可得∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0∴a=b或a2+b2=c2∴△ABC为等腰或直角三角形.2acbcaabbcacbba2222222222判断三角形形状可通过边和角两种途径进行判断,应根据题目条件，选用合适的策略：（1）若用边的关系，则有：若A为锐角，则b2+c2-a20;若A为直角，则b2+c2-a2=0；若A为钝角，则b2+c2-a20.（2）利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A+B+C=π这个结论.探究提高知能迁移3在△ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么△ABC一定是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形解析方法一因为在△ABC中，A+B+C=π，即C=π-（A+B），所以sinC=sin(A+B).由2sinAcosB=sinC,得2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB,即sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0.又因为-πA-Bπ,所以A-B=0,即A=B.所以△ABC是等腰三角形，故选B.方法二利用正弦定理和余弦定理2sinAcosB=sinC可化为即a2+c2-b2=c2,即a2-b2=0,即a2=b2,故a=b.所以△ABC是等腰三角形.答案B,22222cacbcaa题型四正、余弦定理的综合应用(12分)在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足（2a-c）cosB=bcosC.(1)求角B的大小；(2)若b=,a+c=4,求△ABC的面积.(1)用正弦定理,将边用角代换后求解.(2)用余弦定理,配方出现a+b后代换,求出ac即可.解（1）在△ABC中，由正弦定理得：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入(2a-c)cosB=bcosC,【例4】思维启迪7整理得2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB,4分即2sinAcosB=sin(B+C)=sinA,在△ABC中，sinA0,2cosB=1,∵∠B是三角形的内角，∴B=60°.6分（2）在△ABC中，由余弦定理得b2=a2+c2-2ac·cosB=(a+c)2-2ac-2ac·cosB,8分将b=,a+c=4代入整理，得ac=3.10分7.43360sin23sin21BacSABC故12分在求角问题中，一般都是用正、余弦定理将边化为角.由三角函数值求角时，要注意角的范围.在应用余弦定理时，要注意配方这一小技巧，通过配方，使之出现（a+b）2或（a-b）2.将a+b或a-b作为一个整体，可以带来非常好的效果.探究提高知能迁移4（2008·辽宁理，17）在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c=2,（1）若△ABC的面积等于，求a、b的值；（2）若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积.解(1)由余弦定理及已知条件,得a2+b2-ab=4.又因为△ABC的面积等于，所以absinC=,所以ab=4..3C32133.2,2,4,422baababba解得联立方程组(2)由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,即sinBcosA=2sinAcosA,当cosA≠0时，得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,.332,334,6,2,0cosbaBAA时当.332sin21.334,332,2,422CabSABCbaababba的面积所以解得联立方程组方法与技巧1.正、余弦定理和三角形面积公式是本节课的重点,利用三角形内角和、边、角之间的关系,三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求解三角形，以及利用它们解决一些实际问题.2.应熟练掌握和运用内角和定理:A+B+C=π,中互补和互余的情况,结合诱导公式可以减少角的种数.2222CBA思想方法感悟提高3.正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin2A=sin2B+sin2C-2sinB·sinC·cosA,可以进行化简或证明.4.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种