方法归纳--构造基本图形解直角三角形的实际问题习题

方法归纳构造基本图形解直角三角形的实际问题类型一构造单一直角三角形解决【例1】如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30°，荷塘另一端D与点C、B在同一条直线上，已知AC=32米，CD=16米，求荷塘宽BD为多少米？(取3≈1.73，结果保留整数)解：在Rt△ACB中，∠CAB=60°，CB=AC·tan60°=323.∴DB=CB-CD=323-16≈39.答：荷塘宽DB的长约为39米.【方法总结】通过构造单一的直角三角形,只要知道其中的一条边长和一个锐角,就可以利用解直角三角形的知识求出其余各边的长.变式练习1如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部(B处)6米的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5米.试帮助小华求出旗杆AB的高度.(结果精确到0.1米，3≈1.732)类型二构造单一非直角三角形解决【例2】为促进我市经济快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中，需修建隧道AB，如图，在山外一点C测得BC距离为200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的长(参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，3≈1.73，精确到个位).解：过点C作CD⊥AB于D.在Rt△BCD中，∵∠B=30°，BC=200m.∴CD=12BC=100(m)，BD=1003m,在Rt△ACD中，∵tan∠CAB=CDAD,∴AD=50041tan≈72,∴AB=AD＋BD=245(m).答：隧道AB的长约为245m.【方法总结】通过构造一个非直角三角形,已知其中的两角和一边,可过第三个角的顶点作高,将三角形转化为两个直角三角形,再利用解直角三角形的知识求出其余各边长.变式练习2如图某天上午9时，向阳号轮船位于A处，观测到某港口城市P位于轮船的北偏西67.5°，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B处，这时观测到城市P位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B与城市P的距离？(参考数据：sin36.9°≈35，tan36.9°≈34，sin67.5°≈1213，tan67.5°≈125)类型三构造双直角三角形解决【例3】如图，2012年4月10日，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦察发现，在南偏东60°方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民.此时，C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？(2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)解：过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.由题意得∠DAC=45°，∠DAB=60°，∵AD⊥BC,∴sin∠DAC=CDAC，cos∠DAC=ADAC，tan∠DAB=BDAD,即sin45°=10CD，cos45°=10AD，∴CD=AD=52，∵tan60°=52BD，∴BD=56.BC=BD-CD=56-52≈5.2(海里).中国海监船赶到点C所用的时间为13时，某国军舰到达点C所需的时间为25时，∵13＜25，∴中国海监船能及时赶到C地救援我国渔民.【方法总结】如图,构造两个直角三角形,利用解直角三角形的知识容易知道如下结果:tanβ=hb,tanα=hab,∴a= htan- htan,b=atantantan,h=tantanttnaana.变式练习3如图，王强同学在甲楼楼顶A处测得对面乙楼楼顶D处的仰角为30°，在甲楼楼底B处测得乙楼楼顶D处的仰角为45°，已知甲楼高26米，求乙楼的高度.(3≈1.7)类型四构造梯形解决【例4】如图，水坝的横断面是梯形，迎水坡BC的坡角∠B=30°，背水坡AD的坡度为1∶2，坝顶DC宽25米，坝高CE是45米，求：坝底AB的长、迎水坡BC的长及BC的坡度(答案保留根号).解：作DF⊥AB于点F,作CE⊥AB于点E.在Rt△ADF中,DF=45m,DFAF=12,∴AF=452m.在Rt△BCE中,CE=45m,BE=30CEtan=453.∴AB=(452+25+453)m.BC=22CEBE=90(m),iBC=CEBE=13.【方法总结】通过作梯形的高,把梯形转化为直角三角形和矩形,利用解直角三角形等的有关知识加以解决,注意分清坡角和坡度的不同.变式练习4如图，在一滑梯侧面示意图中，BD∥AF，BC⊥AF于点C，DE⊥AF于点E.BC=1.8m，BD=0.5m，∠A=45°，∠F=29°.(1)求滑道DF的长(精确到0.1m)；(2)求踏梯AB底端A与滑道DF底端F的距离AF.(精确到0.1m，参考数据：sin29°≈0.48，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55)参考答案例1变式练习1在Rt△ACE中，∠CEA=60°，CE=BD=6,∴tan∠AEC=AECE，∴AC=CE·tan∠AEC=6tan60°=63，∴AB=AC+BC=63+1.5≈10.39+1.5=11.89≈11.9(米).例2变式练习2设BC=x海里，由题意，易得AB=21×(14-9)=105(海里)，则AC=105-x(海里).在Rt△BCP中，tan36.9°=PCBC,∴PC=BC·tan36.9°=34x.在Rt△ACP中，tan67.5°=PCAC,∴PC=AC·tan67.5°=125(105-x).∴34x=125(105-x),解得x=80.∴PC=34x=60(海里),∴PB=22PCBC=100(海里).答：此时轮船所处位置B与城市P的距离约为100海里.例3变式练习3作DE⊥AB交AB的延长线于点E,则四边形BCDE是矩形.∴BC=DE.∴∠DAE=60°,∠DBE=45°.设DC=x,则AE=x-26.∵tan∠DAE=DEAE,∴DE=AE·tan60°=3AE.∵tan∠DBE=DEBE=1,∴DE=BE.∴x=3AE=3(x-26),∴x≈61.5.答：乙楼高为61.5米.变式练习4(1)在Rt△DEF中，∠DEF=90°，DE=BC=1.8，∠F=29°，∵sinF=DEDF，∴DF=DEsinF=2.891sin≈1.80.48=3.75≈3.8;(2)∵tanF=DEEF，∴EF=DEtanF=2.891tan≈1.80.55≈3.27.在Rt△ABC中，∠ACB=90°.由∠A=45°得：AC=BC=1.8.又∵CE=BD=0.5，∴AF=AC+CE+EF≈1.8+0.5+3.27≈5.6.答：DF的长约为3.8m，AF约为5.6m.