全等三角形证明方法总结

1证明三角形全等（含线段相等、角相等）的几种方法一、三角形全等的判定：①三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。【最简单，考得也最少，考试过程中没有注意点】 ②有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。【最常考，而且考试就考“角是不是两边夹角”】③有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。 ④有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。 ⑤直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。 二、全等三角形的性质：①全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。 ②全等三角形的周长、面积相等。 ③全等三角形的对应边上的高对应相等。 ④全等三角形的对应角的角平分线相等。 ⑤全等三角形的对应边上的中线相等。 几种常见全等三角形的基本图形：【平移】 【旋转】 【折叠/对称】 FEDCBAFEDCBAFEDCBAEDCBAEDCBAEDCBAOEDCBAEDCBADCBADCBA数学培优方法总结1-2当题目中得出“2对边及1对角相等”时，一定要检查“角是不是两边夹角”。题目中只要得出“1对边及2对角相等”，那就能证明三角形全等，唯一要做的就是区分好是ASA还是AAS 直角三角形全等的特殊证法。但当该方法不行时，前面的4种方法也能用来证明直角三角形全等。 如何找斜边：斜边是直角所对的边，只要找90°的角所对的边就能找到斜边2三、找全等三角形的方法： ①可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中； ②可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等； ③从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等； ④若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。★三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。❶缺个角的条件：1、公共角2、对顶角3、两全等三角形的对应角相等4、等腰三角形5、同角或等角的补角（余角）6、等角加（减）等角7、平行线8、等于同一角的两个角相等❷缺条边的条件：6、等腰三角形5、角平分线性质4、等量差3、等量和2、中点1、公共边3数形结合找条件【规律总结】10、等于同一线段的两线段相等9、两全等三角形的对应边相等8、线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等7、等面积法找另一边→SSS■已知两边 找夹角→SAS 找直角→HL ■已知一边一角边为角的邻边找角的另一边→SAS 找与边相邻的另一角→ASA 找边的对角→AAS 边为角的对边→找任一角→AAS 找夹边→ASA■已知两角 找除夹边外的任一边→AAS ■题目中的隐藏条件 1.公共边、公共角 2.对顶角 3.正方形→4条边都相等、4个角都是90° 4.等边三角形（正三角形）→3条边都相等、3个角都是60° 5.同一个三角形中，一个角是90°，一个角是45°→三角形是等腰直角三角形，两条腰相等。 同一个三角形中，一个角是90°，两条边相等→三角形是等腰直角三角形，两个底角为45° 6.两直线互相垂直→以垂足为顶点的4个角都是90° 7.同角（等角）的余角、补角相等 8.外角定理（最不容易想到，当题目无从下手时，就应该想一想外角定理） 9.两三角形全等→对应边、对应角、对应边上的高、对应边上的中线、对应角的角平分线、周长、面积等都相等 4四、构造辅助线的常用方法：❶关于角平分线的辅助线当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。与角平分线有关的常用辅助线作法，即角平分线的四大基本模型OP是∠MON的角平分线过点P向两边作垂线，构成全等三角形截取OB=OA，构成三角形全等角平分线被垂直，顺势延长造全等，则P是中点角平分线+平行线得等腰三角形图中有角平分线，可向两边作垂线图中有角平分线，沿它对折关系现角平分线加垂线，“三线合一”试试看角平分线+平行线，等腰三角形必呈现角平分线的常见倒角模型及相关结论已知△ABC中，BP，CP分别为角平分线且交于点P，探讨∠BPC与∠A的关系角平分线倒角模型结论1902BPCA1902BPCA12BPCA基础知识5关于角平分线常用的辅助线方法：（1）截取构全等如下左图所示，OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点，F为OB上一点，若在OA上取一点E，使得OE=OF，并连接DE，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。例题1：如上右图所示，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。提示：在BC上取一点F使得BF=BA，连结EF。（2）角分线上点向角两边作垂线构全等利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。如下左图所示，过∠AOB的平分线OC上一点D向角两边OA、OB作垂线，垂足为E、F，连接DE、DF。则有：DE=DF，△OED≌△OFD。例题2：如上右图所示，已知ABAD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180。（3）作角平分线的垂线构造等腰三角形。如下左图所示，从角的一边OB上的一点E作角平分线OC的垂线EF，使之与角的另一边OA相交，则截得一个等腰三角形（△OEF），垂足为底边上的中点D，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，从而得到一个等腰三角形，可总结为：“延分垂，等腰归”。6例题3：如上右图所示，已知∠BAD=∠DAC，ABAC,CD⊥AD于D，H是BC中点。求证：DH=（AB-AC）提示：延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。问题可证。例题4：已知，如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90o，∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E,求证：BD=2CE【提示：延长CE交BA的延长线于点F】（4）作平行线构造等腰三角形作平行线构造等腰三角形分为以下两种情况：①如下左图所示，过角平分线OC上的一点E作角的一边OA的平行线DE，从而构造等腰三角形ODE。②如下右图所示，通过角一边OB上的点D作角平分线OC的平行线DH与另外一边AO的反向延长线相交于点H，从而构造等腰三角形ODH。❷由线段和差想到的辅助线 （1）遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：①截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；②补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。截长补短法作辅助线。例题5：在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB＝2∠B，求证：AB＝AC＋CD。请问此题是截长还是补短7例题6：如图，在△ABC中，∠B=60。，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，求证：AC＝AE＋CD例题7：如图，AC平分∠DAB，∠ADC+∠B=180。，求证：CD=CB例题8：如图，AD//BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB，求证：CD=AD+BC（2）对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。方法技巧：在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。例题9：已知如图1-1，D、E为△ABC内两点,求证:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.（法1）证明：将DE两边延长分别交AB、AC于M、N，在△AMN中，AM＋AN＞MD＋DE＋NE;（1）在△BDM中，MB＋MD＞BD；（2）在△CEN中，CN＋NE＞CE；（3）由（1）＋（2）＋（3）得：AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC分析见《全效优等生》分析见《全效优等生》分析见《全效优等生》8（法2）如图1-2，延长BD交AC于F，延长CE交BF于G，在△ABF和△GFC和△GDE中有：AB＋AF＞BD＋DG＋GF（三角形两边之和大于第三边）（1）GF＋FC＞GE＋CE（同上）………………………………（2）DG＋GE＞DE（同上）……………………………………（3）由（1）＋（2）＋（3）得：AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。（3）在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：例题10：如图2-1：已知D为△ABC内的任一点，求证：∠BDC＞∠BAC。分析：因为∠BDC与∠BAC不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC处于在外角的位置，∠BAC处于在内角的位置；证法一：延长BD交AC于点E，这时∠BDC是△EDC的外角，∴∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，∴∠BDC＞∠BAC证法二：连接AD，并延长交BC于F∵∠BDF是△ABD的外角∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD即：∠BDC＞∠BAC。注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。❸由中点想到的辅助线在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线加倍延长及其相关性质（等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。ABCDEFG12图（1）中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形即如图1，AD是ΔABC的中线，则SΔABD例题11：如图2，ΔABC中，AD是中线为2，求：ΔCDF的面积。（2）倍长中线已知中点、中线问题应想到倍长中线，通过倍长中线又可得到一组等边及对顶角连结BE(用虚线连接)。例题12：如图5，已知ΔABC中，AD形。❹验证中点、中线问题，应构造平行线如图，过B作BE平行AC交AD延长线于9中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形ΔABD=SΔACD=SΔABC（因为ΔABD与ΔACD是等底同高的是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线，由中线的性质可知，一条中线将中点所在的线段平分通过倍长中线又可得到一组等边及对顶角，因而可以得到一组全等三角形。如图，延长AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。应构造平行线 延长线于E。A B C D 是等底同高的）。的中线。已知ΔABC的面积一条中线将中点所在的线段平分，可得到一组等边，延长AD到E，使得AD=DE，。求证：ΔABC是等腰三角 10例题13：如图3，在等腰△ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延长线上截取CE，且使CE=BD．连接DE交BC于F．求证：DF=EF．❺其他辅助线做法（1）延长已知边构造三角形在一些求证三角形问题中，延长某两条线段（边）相交，构成一个封闭的图形，可找到更多的相等关系，有助于问题的解决．例题14：如图4，在△ABC中，AC=BC，∠B=90°，BD为∠ABC的平分线．若A点到直线BD的距离AD为a，求BE的长．例题15：如图7-1，已知AC＝BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B，求证：AD＝BC分析：欲证AD＝BC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：△ADC与△BCD，△AOD与△BOC，△ABD与△BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。（2）连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决例题16：如图8-1：AB∥CD，AD∥BC求证：AB=CD。分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。ABCDE17图OABCD18图123411（3）连接已知点，构造全等三角形例题17：已知：如图