1.4.2正弦函数、余弦函数的性质

三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质正、余弦函数图像特征：2oxy---11--13232656734233561126sin[0,2]yxx在函数的图象上，起关键作用的点有：sin,[0,2]yxx最高点：最低点：与x轴的交点：(0,0)(,0)(2,0))1,(23)1,2(注意：函数图像的凹凸性！知识回顾:-oxy---11--13232656734233561126cos[0,2]yxx在函数的图象上，起关键作用的点有：cos,[0,2]yxx最高点：最低点：与x轴的交点：(0,1)3(,0)2(2,1)(,1)(,0)2注意：函数图像的凹凸性！余弦函数图像特征：x22322523yO23225311x22322523yO23225311正弦函数sinyx余弦函数cosyx正弦函数、余弦函数的图象每当角增加(或减少)2π,所得角的终边与原来的终边相同.故两角的正弦、余弦函数值也分别相同.即有:sin(2π+x)=sinxcos(2π+x)=cosx诱导公式sin(x+2π)=sinx,的几何意义．xyoXX+2πXX+2π正弦函数值是按照一定规律不断重复地出现的oyx4π8πxoy6π12π若记f(x)=sinx,则对于任意x∈R,都有f(x+2π)=f(x)这样的函数具有什么样的特点?如何用数学语言刻画这类函数?定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数Ｔ，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．4.一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，则kT(k∈N＋)也是f(x)的周期.1.x及x+T都应在函数的定义域内．注意:2.T≠03.f(x+T)=f(x)(x是定义域内任意的)对于一个周期函数f(x),如果在它的所有正周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．1、正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)是它们的周期，最小正周期是2π.xoy4π12π6π8π2π10π２．等式sin(300+1200)=sin300是否成立？如果成立，能否说明1200是正弦函数y=sinx,x∈R的一个周期？为什么？f(x+T)=f(x)(x是定义域内任意的)cos(2)cos,xx解(1)例1:求下列函数的周期：(1)y=3cosx,x∈R;(2)y=sin2x,x∈R;(3)y=2sin(),x∈R.621x3cos(2)3cosxx是以2π为周期的周期函数.xcos32sin(2)sin(22)sin2(),xxx解所以y=sin2x是以π为周期的周期函数.2)y=sin2x,x∈R;满足f(x+T)=f(x)(3)y=112sin()2sin(2)262612sin(4),26xxx解：12sin()26yx是以４π为周期的周期函数注意：f(x)的特点，f(x+T)的结构12sin()26x利用定义证明y=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω0)的周期T=2π/ω.根据上述例题的做法,你能完成下面的证明吗?sin()sin(2)22sin[()]yAxAxAxT一般地，函数y=Asin(ωx+φ),x∈R及函数y=Acos(ωx+φ),x∈R(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω0)的周期为思考：若f(ｘ)的周期为Ｔ，则f(ωx)的周期为多少？2T对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。注：1、T要是非零常数2、“每一个值”只要有一个反例，则f(x)就不为周期函数（如f(x0+t)f(x0)）3、周期函数的周期T往往是多值的（如y=sinx2,4,…,-2,-4,…都是周期）4、周期T中最小的正数叫做f(x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）正弦函数是周期函数，，最小正周期是)0(2kZkk且2余弦函数是周期函数，，最小正周期是)0(2kZkk且2一.周期性的值。求时，且当为周期的周期函数，是以已知函数例)27(),3(.)1()(]2,0[2))((.22ffxxfxRxxfx22322523yO23225311x22322523yO23225311二.奇偶性(1)()sin,fxxxRxR任意()sin()fxxsinx()fx()sin,fxxxR为奇函数(2)()cos,fxxxRxR任意()cos()fxxcosx()fx()cos,fxxxR为偶函数三.定义域和值域x22322523yO23225311x22322523yO23225311正弦函数sinyx定义域：R值域：[-1，1]余弦函数cosyx定义域：R值域：[-1，1]|sin|1|cos|1≤≤xx练习下列等式能否成立？(1)2cos3x2(2)sin0.5x3cos2x1×sin0.5x[1,1]√例1.求下列函数的定义域和值域。(1)3sinyx(2)cosyx定义域值域R3{|22,}22xkxkkZ[0,1][2,4](3)2sin(2),[,]366yxx[0,2]探究：正弦函数的最大值和最小值最大值：2x当时，有最大值1yk2最小值：2x当时，有最小值1yk2x22322523yO23225311四.最值探究：余弦函数的最大值和最小值最大值：0x当时，有最大值1yk2最小值：x当时，有最小值1yk2x22322523yO23225311x6o--12345-2-3-41y当且仅当）时，，（Zkkx22；1)(sinmaxx当且仅当）时，，（Zkkx22.1)(sinminx当且仅当）时，，（Zkkx2；1)(cosmaxx当且仅当）时，，（Zkkx2.1)(cosminx四、正弦、余弦函数的最值x6yo--12345-2-3-41)(sinRxxy)(cosRxxy例题x22322523yO23225311求使函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并写出最大值、最小值。)22cos(3xy化未知为已知分析：令22xz则zysin3例2.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.cos1,3sin2,.yxxRyxxR(1);(2)解：这两个函数都有最大值、最小值.（1）使函数取得最大值的x的集合，就是使函数取得最大值的x的集合cos1,yxxRcos,yxxR{|2,}xxkkZ使函数取得最小值的x的集合，就是使函数取得最小值的x的集合cos1,yxxRcos,yxxR{|(21),}xxkkZ函数的最大值是1+1=2；最小值是-1+1=0.cos1,yxxR练习.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.cos1,3sin2,.yxxRyxxR(1);(2)解：（2）令t=2x,因为使函数取最大值的t的集合是3sin,yttR{|2,}2ttkkZ222xtk由4xk得所以使函数取最大值的x的集合是3sin2,yxxR{|,}4xxkkZ同理，使函数取最小值的x的集合是3sin2,yxxR{|,}4xxkkZ函数取最大值是3，最小值是-3。3sin2,yxxR五、探究：正弦函数的单调性]2523[]22[]23,25[，、，、当在区间……上时，x曲线逐渐上升，sinα的值由增大到。11753357[,][][][,]22222222…、，、，、…当在区间x上时，曲线逐渐下降，sinα的值由减小到。11x22322523yO23225311探究：正弦函数的单调性x22322523yO23225311正弦函数在每个闭区间)](22,22[Zkkk都是增函数，其值从－1增大到1；而在每个闭区间3[2,2]()22kkkZ上都是减函数，其值从1减小到－1。探究：余弦函数的单调性[3,2][0][2][3,4]、，、，当在区间x上时，曲线逐渐上升，cosα的值由增大到。11曲线逐渐下降，sinα的值由减小到。11[2,][0][23]、，、，当在区间x上时，x22322523yO23225311探究：余弦函数的单调性x22322523yO23225311由余弦函数的周期性知：其值从1减小到－1。而在每个闭区间上都是减函数，[2,2]kk其值从－1增大到1；在每个闭区间[2,2]kk都是增函数，练习P46(4)先画草图，然后根据草图判断x22322523yO23225344xysin4],[x练习P46练习1x22322523yO23225311x(1)sin0:x22322523yO23225311(0,)2k2k(2)sin0:x()0,2k2k(1)cos0:x()22,2k2kkZkZkZ(2)cos0:x(22,3)2k2kkZ五、正弦函数的单调性y=sinx(xR)增区间为[，]其值从-1增至122xyo--1234-2-31223252722325xsinx2223…0………-1010-1减区间为[，]其值从1减至-1223[+2k,+2k],kZ22[+2k,+2k],kZ223五、余弦函数的单调性y=cosx(xR)xcosx22-……0……-1010-1减区间为，其值从1减至-1[2k,2k+],kZyxo--1234-2-31223252722325增区间为其值从-1增至1[+2k,+2k],kZ2例3比较下列各组数的大小:(1)sin()sin();1810与2317(2)cos()cos().5与学以致用x22322523yO23225311P'P正弦函数的图象53113,,,,22222x对称轴：,2xkkZ(,0),(0,0),(,0),(2,0)对称中心：(,0)kkZ六、正弦、余弦函数的对称性余弦函数的图象,0,,2x对称轴：,xkkZ35(,0),(,0),(,0),(,0)2222对称中心：(,0)2kkZ'PPx22322523yO23