第二章 有限差分法

第二章有限差分法许多物理问题或物理规律都可以用微分方程描述，如：)(])([2222xqdxwdxEJdxd大多数描述实际问题的微分方程很难得到解析解，如：方程本身难求解；求解区域不规则；边界条件复杂梁挠度方程力边界位移边界022kxwdxdwdxwdx随着计算机技术的发展，为解微分方程提供了强有力的工具，借助于有效的计算方法，可对微分方程进行数值求解第二章有限差分法第二章有限差分法钱学森指出：“今日的力学要充分利用计算机和现代计算技术去回答一切宏观的实际科学技术问题，计算方法非常重要”第二章有限差分法有限差分的基本概念差分方程与差分格式构造差分格式的收敛性和稳定性差分格式的其他构造方法差分解法在力学中的应用本章内容第二章有限差分法有限差分法是数值求解微分方程的方法之一差分方法最早可追溯到1855,亚当斯就提出了求解一阶方程组的初值问题——著名的有限差分法，也称作亚当斯法。亚当斯根据理论分析和计算发现海王星的人Courant,Friedrichs,Lewy(1928)首次对偏微分方程的差分方法作了完整的论述第二章有限差分法有限差分法的基本思想和主要步骤基本思想：用离散的、只含有限个未知数的差分方程去代替连续变量的微分方程和定解条件主要步骤：将连续求解区域离散成点集；将微分方程离散化为差分方程、将定解条件离散化，即得到构造差分格式；将偏微分方程定解问题化为代数方程组；求解代数方程组，得到离散点上的解；利用插值函数可得到整个区域上的近似解。第二章有限差分法如何将连续体离散如何将离散点物理量的值联系起来如何得到离散点上的值有限差分公式，差分方程，差分格式第二章有限差分法§2.1有限差分的基本概念)()(rhuxuurr)(xuxhh2rhh5h4h3u1.函数在离散点上的表示rrurhuxu)()(r表示节点沿x坐标的位置h表示沿x方向的步长,2,1,0r()ux第二章有限差分法kh1,srsr,1sr,11,srsr,khxysrsruskrhuyxu,),(),(),2,1,0;,2,1,0(sr二维1,,11,,1rsrsuurhskuurhsk相邻的节点第二章有限差分法lhkxz1,,lsrlsr,1,lsr,,11,,lsrlsr,1,lsr,,1lsr,,,,(,,)(,,)rstrstuxyzurhsktlu(0,1,2,;0,1,2,0,1,2,)rst三维第二章有限差分法2.单变量函数导数的有限差分公式用上述记号，单变量函数u(x)在离散点xr处的Taylor级数展开为:rrrxxxxxxxxxrruhuhuhxuhxu!3!2)()(32rrrxxxxxxxxxrruhuhuhxuhxu!3!2)()(32rrrxxxxxxxrrxxuhuhhxuhxuu!3!2)()(22()()2!3!rrrrrxxxxxxxxxuxuxhhhuuuh211-23!rrxxxxrruuhuuh第二章有限差分法不同形式一阶导数差分公式及其截断误差huuhxuhxuuurrrrrxxxr1)()()(huuhhxuxuuurrrrrxxxr1)()()(huuurrrx2)(112211(),()2(),()2(),()6xxrrxxrxxrrxxxxxrrxxhuohxxxhhEuohxhxxhuohxxx中心差商向前差商向后差商第二章有限差分法二阶导数差分公式及其截断误差2112)(huuuurrrrxx2211(),()12rrxxxxrrrxxhEuohxxx第二章有限差分法差分算子以及符号rrruuu11rrruuu2/12/1rrruuuE1rruEu2/)(2/12/1rrruuuDrxxxrudxduDur)()/(符号算子差分表示式向前差分向后差分中心差分移位平均微分第二章有限差分法不同算子间关系1(1)rrrrrruuuEuuEu1E111(1)rrrrrruuuuEuEu11E1/21/211+()22rrrrruuuuu21/21/211()()2rrrrrrruuuuuuu32112-2u+2u-u2rrrrruu第二章有限差分法2312233()()()2!3!(1)exp()2!3!rrxrxxrxxrrrhhuuhuuuhDhDhDuhDu1rrEuuexp()EhD232311ln(1)23ln11ln(1)23hDE或第二章有限差分法2sinh()2hD1/22233(/2)(/2)(/2)()()()2!3!(/2)(/2)(1(/2))exp()2!3!2rrxrxxrxxxrrrhhuuhuuuhDhDhDhDuu1/22233(/2)(/2)(/2)()()()2!3!(/2)(/2)(1(/2))exp()2!3!2rrxrxxrxxxrrrhhuuhuuuhDhDhDhDuu两式相减1/21/2exp()exp()22rrrrrhDhDuuuuuexp()exp()22hDhD或第二章有限差分法213324132sinh()223!25!hD232311ln(1)23ln11ln(1)23hDE第二章有限差分法一阶导数：2311()()23xrrhuu2311()()23xrrhuu3511()()3!30xrrhuu二阶导数：223411()()12xxrrhuu223411()()12xxrrhuu224611()()1290xxrrhuu第二章有限差分法三阶导数：334537()()24xxxrrhuu334537()()24xxxrrhuu335717()()4120xxxrrhuu四阶导数：445617()(2)6xxxxrrhuu445617()(2)6xxxxrrhuu446817()()6240xxxxrrhuu第二章有限差分法单变量函数导数的有限差分公式第二章有限差分法3.多变量函数导数的有限差分公式二元函数一阶偏导数的有限差分公式1,,,,(,)(),()rsrsrsxrsxxyyuuuxyuohxh,1,,,(,)(),()rsrsrsyrsxxyyuuuxyuokyk保持下标s不变（即y=常数）中保持r不变（即x=常数）,()xrsu,()yrsu第二章有限差分法第二章有限差分法hk第二章有限差分法二元函数偏导数的有限差分公式（h=k）第二章有限差分法§2.2差分方程与差分格式的构造微分方程简单回顾在力学、物理学等领域中，各个定律并不一定直接由某些表征物理量的未知函数与自变量间的量的规律给出，而往往是由这些函数和它们对自变量的各阶导数或偏导数的关系给出，这种带有导数或微分符号的未知函数的方程称为微分方程一般地，微分方程中，如果其中的未知函数只与一个自变量有关，则称为常微分方程，记为x为自变量，y(x)为未知函数，{y′,y′′,…y(n)}为未知函数的各阶导数或微分。方程中所含未知函数导数的最高阶数（例如n）称为这个方程或方程组的阶（例如：n阶常微分方程）。第二章有限差分法1.常见描述力学问题的微分方程物体运动方程(),()dsdvvtatdtdt梁的静力平衡方程(),()dMdQQxqxdxdx振动方程)(22tfbsdtdsadtsd圆薄膜振动方程022kxwdxdwdxwdx微分方程中，如果其中的未知函数与多于一个的自变量有关，则称为偏微分方程，记为其中，u=(x1,x2,…,xm),(m≥2)为未知函数；F是关于{x1,x2,…,xm}，u以及u的有限个偏导数的已知函数。如果在F中含有u的偏导数的最高阶为n，则称为n阶偏微分方程。如果F关于u及其导数是齐次的，则称微分方程是齐次的。第二章有限差分法悬索挠度方程0)(1222dxdyHwdxyd梁的挠度方程)(])([2222xqdxwdxEJdxd圆柱壳的轴对称弯曲方程DxqwDaEhdxwd)(244弹性基础上梁的挠度方程)(44xqkwdxwdEJ拉普拉斯方程)2(02222Dyx)3(0222222Dzyx热传导或扩散方程2222yvxvtva弦的振动方程22222xYatY双调和方程024422444yyxx薄板的弯曲方程4(,)Dwqxy微分方程和定解条件一起组成定解问题第二章有限差分法所有的物理学、力学等学科领域中的微分方程，都是根据一些基本定律以及实验现象为基础建立的。在这些方程中的量，包括自变量和特定函数的物理量，都是有量纲的物理量。由量纲分析和相似理论，这些物理量所组成的物理方程都可以化为无量纲形式。在这种无量纲形式的微分方程中，所有的自变量和有着特定物理意义的函数表征的量都是无量纲，并且还会出现一些决定这个物理系统的无量纲常数——相似模量。这种无量纲形式的微分方程，才是纯数学的微分方程，其是一类可以描述很多不同物理现象的微分方程。第二章有限差分法在具体求解微分方程时，必须附加某些定解条件，微分方程和定解条件一起组成定解问题。对于高阶微分方程，定解条件通常有三种提法：一种是给出了积分曲线在初始时刻的性态，这类条件称为初始条件，相应的定解问题称为初值问题；一种是给出了积分曲线在边界上的性态，这类条件称为边界条件，相应的定解问题称为边值问题；最后一种是既给出部分初始条件，又给出部分边界条件，即混合定解条件，相应的定解问题称为混合问题。第二章有限差分法2.常微分方程的差分格式构造与求解()()(),()ypxyqxyrxaxb111000)()(,)()(bybyayay常微分方程：定解条件：111122()()()2nnnnnnnnnyyyyypxqxyrxhh利用有限差分公式将上述常微分方程离散化将求解区域离散为x0，…,xNN＋1个节点()hbaN0,(0,1,,)nxxnhnN差分方程第二章有限差分法定解条件差分格式表示1111000010,NNNyhyyyhyy整理微分方程与定解条件，将微分方程转化为代数方程组][]][[byA111112111210000224222420][hhpqhhphpqhhphNNNATNhrhrhrhh]222[][11222120bTNyyyy][][210y其中：第二章有限差分法例1用差分法求解边值问题：1)1(,0)0()10(,)()(yyxxxyxy解：取步长h＝0.1，节点xn=0.1n(n=0,1,…,10)