微积分复习

)(xA1.平行截面面积为已知的立体的体积xxAVd)(d.d)(xxAV立体体积baaxbxxdxOx设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),对应于小区间体积微元为上连续,选为积分变量x],[bax解取坐标系如图底圆方程222Ryxx,22xRy,tan22xRh例一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,计算这平面截圆柱体所得立体的体积.垂直于x轴的截面为直角三角形.底高截面面积,tan)(21)(22xRxA立体体积.tan323RhxxRdtan)(2122RbaxxAVd)(RRROxyV作垂直于y轴的截面是截面长为,2x宽为.tany矩形截面面积tan2)(yxyAtan222yRyyyAVd)(RyyRy022dtan2.tan323R可否选择y作积分变量?R0ROxyR),(yx解取坐标系如图底圆方程为222Ryx截面面积)(xA立体体积xxRhVRRd22hR221垂直于x轴的截面为等腰三角形例yh22122xRh求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.xOxyR上半圆面积圆柱圆锥圆台旋转体这直线叫做旋转轴．由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．2.旋转体的体积],,[baxVd旋转体的体积xxfVd)]([2如果旋转体是由连续曲线),(xfy直线bxax,及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体,体积为多少?取积分变量为x,体积微元2)]([xfxdab(1)对应于小区间)(xfybaxxdOxyx解]1,0[x.]1,0[2轴旋转形成的体积上绕在求xxyxyVdd2体积微元xxd4xxVd4xxfVd)]([d2例取积分变量为x,501oxy1yyVd)]([2如果旋转体是由连续曲线),(yxdycy,及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体,体积为多少?(2)直线Vd体积微元2)]([yyd旋转体的体积cd],,[dcy取积分变量为y,对应于小区间)(yxOxycd求星形线绕y轴旋转例构成旋转体的体积.aaaaOxy)0(323232aayxaaaaOxy解体积微元VdV2yxd20a2xyd求星形线绕y轴旋转例构成旋转体的体积.],[aay对称性aaaaOxy)0(323232aayx利用星形线的参数方程taytax33sincos取积分变量为y,222ayx圆的参数方程taytaxsincos]2,0[t]2,0[ttaytax33sincosyxVad202yxVad202ta62cos22tay3sin变换tttaydcossin3d220973dcoscos6ttta）－（）（9736IIa.105323atttadcossin320）（132547698132547663a解取坐标如图所示.圆的方程为222)(rRyxoxyR•V例xxrRxrR]d)()[(222222222xrRyrr条直线的圆绕同平面内圆外一求半径为r，设圆心到直线的旋转成的圆环体的体积).(rRR距离为221xrRyVd体积微元xyd21xyd22xyy)d(2221rr取积分变量为x,],[rrxxxrRrrd422242rR222Rr上半圆面积22rRxxrRxrRVrr]d)()[(222222)(xfyba3.柱壳法如果旋转体是由连续曲线),(xfy直线bxax,及x轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体,体积为多少?],,[bax旋转体的体积取积分变量为x,体积微元(柱壳体积)abxxfxV)d(2xxdxOxya2解xV20323d)coscos3cos31(tttta.532a例求摆线的一拱与y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积.绕x轴旋转的旋转体体积xyd20a2)sin(ttax02ttad)cos1(22)cos1(ta)cos1(),sin(tayttaxttaxd)cos1(d取积分变量为x,]2,0[axyV.633a绕y轴旋转的旋转体体积)cos1()sin(tayttax摆线tu令2023)dcoscos21)(sin(2tttttaOxya2xyxd20a2202ttad)cos1()cos1)(sin(2tttauuuuua)dcoscos21)(sin(2230232)dcoscos21(4uuua取积分变量为x,]2,0[ax轴所围成图形绕和求抛物线yxyxy2.旋转所得旋转体的体积解两曲线的交点为).1,1()0,0(和102d)(2xxxx2xyxy103)1,1(xyOxxxd)(210323yVxyyx)d(22101取积分变量为x,]1,0[x法1轴所围成图形绕和求抛物线yxyxy2.旋转所得旋转体的体积法2两曲线的交点为).1,1()0,0(和2xyxy1103)1,1(xyOyyyd)(104取积分变量为y,]1,0[yyVyVd体积微元yxd2右yyy)d(4yxd2左yyy)d(4设在x≥0时为连续的非负函数,且形绕直线x＝t旋转一周所成旋转体体积,证明:证xtxxfxtVd)()(π2d则xxfxttVtd)()(π2)(0xxfttd)(π20xxfxtd)(π20xxftVtd)(π2)(0)(π2tft)(π2tft)(π2)(tftV故)(xfxOy取积分变量为x,],0[tx及和直线是由抛物线设2,221xaxxyD所围成的平面区域;和是由抛物线222xyDaxy,0所围成的平面区域;其中.20a(1)试求D1绕x轴旋转而成的旋转体体积V1;试求D2绕y轴旋转而成的旋转体体积V2;(2)问当a为何值时,V1+V2取得最大值?试求此最大值.0y直线22xya21D2D解(1)1V)32(545a2V4axxd)2(222axxx)d2(22a0(2)21VVV45)32(54aaaV0)1(43aa]2,0[a1a(唯一极大值点)5129最大值11xyO求曲线4xy，1y，0x所围成的图形绕y轴旋转构成旋转体的体积.解1xyo14yxy交点),1,4(立体体积yxVyd12yyd1612116y.16)1,4(取积分变量为y,],1[y求曲线4xy，1y，0x所围成的图形绕y轴旋转构成旋转体的体积.解2xyo立体体积xyxVyd)1(240.16)1,4(取积分变量为,x]4,0(xxxxd)14(240xxd)4(240旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积绕轴旋转一周y绕非轴直线旋转一周小结绕轴旋转一周x作业：P2573,4,7,8,10