微积分第七章 无穷级数

第七章无穷级数微积分返回下页上页第七章无穷级数§7.1无穷级数的概念§7.2无穷级数的基本性质§7.3正项级数§7.4任意项级数,绝对收敛§7.5幂级数§7.6泰勒公式与泰勒级数§7.7某些初等函数的幂级数展开式第七章无穷级数微积分返回下页上页一、无穷级数的基本概念§7.1无穷级数的概念给定一个数列u1,u2,u3,,un,,则由这数列构成的表达式u1u2u3un叫做(常数项)无穷级数,简称(常数项)级数,记为1nnu,即3211nnnuuuuu,其中第n项un叫做级数的一般项.叫做无穷级数,简称级数.第七章无穷级数微积分返回下页上页称为级数,其中第n项un叫做级数的一般项.表达式级数举例:级数的展开形式备注一般项简写形式13121111nnn13121111nnn13121111nnn调和级数20nnnaqaqaqaaq)1(1321211)1(11nnnnn)1(1321211)1(11nnnnn等比级数20nnnaqaqaqaaqaqn-1几何级数13121111pppnpnn13121111pppnpnn13121111pppnpnnp—级数)1(1321211)1(11nnnnn第七章无穷级数微积分返回下页上页级数的部分和:级数的前n项的和nniinuuuuus3211称为级数1nnu的部分和.级数敛散性定义:如果级数1nnu的部分和数列}{ns有极限s,即ssnnlim,则称无穷级数1nnu收敛,这时极限s叫做这级数的和,并写成3211nnnuuuuus如果}{ns没有极限,则称无穷级数1nnu发散.第七章无穷级数微积分返回下页上页余项:当级数1nnu收敛时,级数的和s与部分和sn的差值rns-snun1un2叫做级数1nnu的余项.例1证明级数123n是发散的.证此级数的部分和为2)1(321nnnsn.2)1(321nnnsn.显然,nnslim,因此所给级数是发散的.显然,nnslim,因此所给级数是发散的.第七章无穷级数微积分返回下页上页其和为qa-1.如果q1,则部分和解:qaqqaqaqaaqaqaqasnnnn------11112.(3)当q-1时,因为sn当n为奇数时等于a；当n为偶数qaqqaqaqaaqaqaqasnnnn------11112.例2例1讨论等比级数nnaq0(a0)的敛散性.当|q|1时,因为qasnn-1lim,所以此时级数nnaq0收敛,当|q|1时,因为qasnn-1lim,所以此时级数nnaq0收敛,当|q|1时,因为nnslim,所以此时级数nnaq0发散.当|q|1时,因为nnslim,所以此时级数nnaq0发散.所以sn的极限不存在,从而这时级数nnaq0也发散.所以sn的极限不存在,从而这时级数nnaq0也发散.时等于零。(1)(2)第七章无穷级数微积分返回下页上页解:因为)1(1431321211nnsn111)111()3121()211(----nnn,提示:111)1(1-nnnnun.例3例3判别无穷级数1)1(1nnn的收敛性.111)111()3121()211(----nnn,所以1)111(limlim-nsnnn,从而这级数收敛,它的和是1.所以1)111(limlim-nsnnn,从而这级数收敛,它的和是1.仅当|q|1时,几何级数nnaq1(a0)收敛,其和为qa-1.因此，当1q时，几何级数1nnaq发散.第七章无穷级数微积分返回下页上页§7.2无穷级数的基本性质性质1性质1如果sunn1,则kskunn1.这是因为,设1nnu与1nnku的部分和分别为sn与n,则)(limlim21nnnnkukukuksskuuuknnnnlim)(lim21.ksskuuuknnnnlim)(lim21.ksskuuuknnnnlim)(lim21.第七章无穷级数微积分返回下页上页§7.2无穷级数的基本性质sn、n、tn,则性质1性质1如果sunn1,则kskunn1.性质2性质2如果sunn1、1nnv,则svunnn)(1.这是因为,如果1nnu、1nnv、)(1nnnvu的部分和分别为)]()()[(limlim2211nnnnnvuvuvut)]()[(lim2121nnnvvvuuussnnn)(lim.ssnnn)(lim.第七章无穷级数微积分返回下页上页级数)1(1541431nn也是收敛的.级数)1(143132121110000nn也是收敛的,§7.2无穷级数的基本性质性质3在一个级数的前面加上、去掉或改变有限项,级数的敛散性不变.比如,级数)1(1431321211nn是收敛的,性质1性质1如果sunn1,则kskunn1.性质2性质2如果sunn1、1nnv,则svunnn)(1.第七章无穷级数微积分返回下页上页§7.2无穷级数的基本性质性质4如果级数收敛,则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛,且其和不变.应注意的问题:如果加括号后所成的级数收敛,则不能断定去括号后原来的级数也收敛.例如,级数(1-1)+(1-1)+收敛,但级数1-11-1却是发散的.性质1性质1如果sunn1,则kskunn1.性质2性质2如果sunn1、1nnv,则svunnn)(1.性质3在一个级数的前面加上、去掉或改变有限项,级数的敛散性不变.第七章无穷级数微积分返回下页上页§7.2无穷级数的基本性质推论如果加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散.性质1性质1如果sunn1,则kskunn1.性质2性质2如果sunn1、1nnv,则svunnn)(1.性质4如果级数收敛,则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛,且其和不变.性质3在一个级数的前面加上、去掉或改变有限项,级数的敛散性不变.第七章无穷级数微积分返回下页上页级数收敛的必要条件:证:注意:(1)级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件,不能因为一般项趋于零就断定级数收敛.（2）判断级数敛散时应首先验证是否满足收敛的必要条件.证设级数1nnu的部分和为sn,且ssnnlim,则0limlim)(limlim110-----ssssssunnnnnnnnn.0limlim)(limlim110-----ssssssunnnnnnnnn.推论:如果lim0,nnu则级数必发散.1nnu性质5如果收敛,1nnu1limlim()nnnnnuss--lim0.nnu则第七章无穷级数微积分返回下页上页故0)(lim2-nnnss,矛盾.这矛盾说明级数11nn必定发散.显然有ssnnlim及ssnn2lim.于是0)(lim2-nnnss.证假若级数nn11收敛且其和为s,sn是它的部分和.证:但另一方面,212121212121112-nnnnnnssnn,212121212121112-nnnnnnssnn,212121212121112-nnnnnnssnn,212121212121112-nnnnnnssnn,证假若级数nn11收敛且其和为s,sn是它的部分和.显然有ssnnlim及ssnn2lim.于是0)(lim2-nnnss.故0)(lim2-nnnss,矛盾.这矛盾说明级数11nn必定发散.解:因为1sin1limlimsinlim101nnnnnunnn所以级数11sinnnn发散。例4判断级数11sinnnn的敛散性。例5证明调和级数nn11是发散的.第七章无穷级数微积分返回下页上页正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界.一、正项级数各项都是正数或零的级数称为正项级数.这是因为正项级数的部分和数列{sn}是单调增加的,而单调有界数列是有极限.定理1(正项级数收敛的充要条件)§7.3正项级数二、正项级数敛散性的判别法第七章无穷级数微积分返回下页上页定理2(比较判别法)推论:第七章无穷级数微积分返回下页上页111(1);(2)2(1)nnnnn=0sin例1判断下列级数的敛散性.11,22nnsin解:(1)因为(2)证因为11)1(1)1(12nnnn,而且12nn=0收敛.所以，由比较判别法可知，级数01sin2nn收敛.而且11nn=1发散.所以，由比较判别法可知，级数11(1)nnn发散.第七章无穷级数微积分返回下页上页解定理2(比较判别法)解当p1时,nnp11,而级数11nn发散,所以级数pnn11也发散.解当p1时,nnp11,而级数11nn发散,设∑un和∑vn都是正项级数,且unkvn(k0,nN).若级数∑vn收敛,则级数∑un收敛若级数∑un发散,则级数∑vn发散.例2讨论p级数)0(11pnpn的收敛性.11pnxn-时,因为当时,有11ppnx£所以11111nnpppnndxdxnnx--=?蝌111[]1(1)pppnn=---2,3,n=L当第七章无穷级数微积分返回下页上页p级数)0(11pnpn的收敛性：当p1时,]1)1(1[11111-----pppnnpn(n2,3,),即而级数]1)1(1[112----ppnnn收敛,所以级数pnn11也收敛.而级数]1)1(1[112----ppnnn收敛,所以级数pnn11也收敛.当p1时收敛；当p1时发散.故该级数收敛.311211nnnnnゥ===邋例如312pp是的级数，第七章无穷级数微积分返回下页上页(2)当1(或)时，级数发散定理3(比值判别法)用法：常判别含有因子!nnann或、的级数敛散性。设级数为正项级数,1nnu则如果1lim,nnnuu1(1)当时,级数收敛;(3)当1时，比值判别法不能用.第七章无穷级数微积分返回下页上页解因为101lim321)1(321limlim1-nnnuunnnnn,解:所以,根据比值判别法可知所给级数收敛.例3