第六章_机械振动 大学物理上 中南大学

第三篇机械振动与机械波广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近反复变化。振动分类非线性振动线性振动受迫振动自由振动机械振动：物体在恢复力作用下，在某一位置附近作来回往复的运动。6-1简谐振动简谐振动是最简单最基本的线性振动,任何复杂振动均可看作多个谐振动的合成。一、什么叫简谐振动1.弹簧振子的运动弹簧振子（谐振子）：弹簧(k)—物体系统平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置轻弹簧—质量忽略不计，形变满足胡克定律物体—可看作质点，质量mkxOmkxF22dtxdmkx2km令2220dxxdt则简谐振动动力学方程运动学方程即：振动方程0cos()xAt解微分方程得sin()xAt)tsin()tcos(20020积分常数A、φ0由初始条件决定。A：振幅ω：角频率φ0：初相位2.简谐振动的定义运动学定义：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移x（或角位移）随时间t按余弦（或正弦）规律变化，则其运动叫简谐振动。动力学定义：若某物体的动力学方程的形式为0222xdtxd，则其运动为简谐振动。3.振动曲线：描述质点运动规律的位移-时间曲线4.振动方程)tcos(Ax0的物理意义：任意时刻质点相对平衡位置的位移。单位：米二、描述简谐振动的特征量)tcos(Ax01、振幅A简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。0sin()dxvAtdt则000txxvv时，，初始条件：00cosAx00sinvA2200vAx（）2、周期、频率、圆频率频率：单位时间内振动的次数。21T角频率22T对弹簧振子kmT2mk21mk周期T：物体完成一次全振动所需时间。00)Tt(cosA)tcos(A2T单摆glT2lg21lg0是t=0时刻的位相—初位相，由初始条件决定3、位相和初位相)tcos(Ax0—位相，决定谐振动物体的运动状态(x,v,a)0t故称固有周期、固有频率、,,T由系统本身决定，固有角频率，反映物体振动的快慢和周期性)tsin(Av020cos()dvaAtdt000cosAxt时00sinAv000xvtan根据x0,v0的取值，确定φ0的象限，然后计算φ0的值。位相差两振动位相之差。1）若=2k,k=0,±1,±2…,两振动步调相同,称同相2）若=(2k+1),k=0,±1,±2...两振动步调相反,称反相位相差反映了两个振动不同程度的参差错落3400））若，则称第二振动落后第一振动若，则称第二振动超前第一振动1111cos()xAt2222cos()xAt两振动2211()()tt则21则初相差21若2200cos()cos()dvaAtAtdt)tcos(Ax000sin()cos()2dxvAtAtdt三、谐振动的位移、速度、加速度toTavx...avxT/4T/4v,a周期性变化，周期x与相同。x与a反相，v比x超前π/2，v比a落后π/2.例1.谐振子的劲度系数为0.64N/m，小球质量m=0.01kg，t=0时，小球的位置x0=0.04m，速度v0=0.24m/s，且沿x正向运动。求该振子的振幅、初位相及振动方程。解：0000cos0.04sin0.24/xAmvAms00.05tan0.75Am0000000cos00.640sin0xradv在第四象限，设振动方程为：0cos()Amxt0.05cos(80.64)xtm则sradmk/8例2.一个沿轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示．如果t=0时质点的状态分别是：(1)；(2)过平衡位置向x正向运动；(3)过处向x负向运动.试求出相应的初位相，并写出振动方程．0xA2xA解：因为0000cossinxAvA将以上初始条件代入（1）0000cossin0xAAvA0所以振动方程为：2cos()xAtT(2)0000cos0sinxAvA0200v向x正向运0动，即在三、四象限02振动方程为：21cos()2xAtT0000cos2sin0AxAvA(3)030在一、二象限03振动方程为：21cos()3xAtT例3.图为两个谐振动的曲线，分别写出其振动方程．0000002txv时，，解：由图(a)可知，T=2s，A=10cm，2T30.1cos()m2axt由图(b)可知，A=10cm，0000032Atxv时，，00010,01256tsxv时，50.1cos()63bxtm一个周期之内1）质点以角速度ω半径A做匀速圆周运动，则t时刻质点在x轴上的投影坐标为：0cos()xAt2）圆周运动的速率vm=Aω,在x轴的投影0sin()Atv3）圆周运动的向心加速度为：在x轴上的投影为：2nAa20cos()Ata四、简谐振动的旋转矢量表示法)tcos(Ax0x0t=0At+0t=toX1.简谐振动与匀速圆周运动的关系由于存在以述关系,所以常借助匀速圆周运动来描述和研究简谐振动。)cos(0tAAvmna2.旋转矢量法0txotMA0t0旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐振动。xA0cos()xAt用旋转矢量表示相位关系x1A2Ax1A2Ax1A2A同相反相3.旋转矢量法的优点：便于求初位相φ0；便于比较超前和落后；便于求两位置的时间差或求ω；便于与振动曲线对照；便于两同方向同频率谐振动的合成。)2cos(tvvmx)2cos(tA)cos(taamx)cos(2tA由图可见：2va超前2xv超前xt+0o·Amvma090090例4.已知某简谐振动的速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。431.431.715.715.01)(st)(1cmsv解：方法1)tcos(Ax0设振动方程为100715cms.sinAv0020cosAa1431cmsvAm.2143171500..Avsin6560或0000cos,a则6017151cmsvt.2161mvvAv)sin(6116761或01001)cos(,a则67611143s.cmvAm10143431..故振动方程为cmtx)cos(610方法2：用旋转矢量法辅助求解。)cos(tAx)cos()sin(2tvtAvm1431cmsAvm.0tst12vov的旋转矢量与v轴夹角表示t时刻相位2t由图知322611scmvAm10143431..cmtx)cos(610用旋转矢量法分析例1、2、3，突出其优越性。一、单摆4-2简谐振动实例分析gmfTCO当θ5o时,sinθθMmglglTlg2200角频率,振动周期分别为：sinmglM摆球对C点的力矩负号表示力矩总是使小球向平衡位置摆动结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。222dmlmgldt即（转动定理）2/gl令0222dtd则二、复摆：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体结论：复摆的小角度摆动振动是简谐振动。gmhCO2220ddt则2mghI令刚体对轴的力矩：sinMmgh负号表示力矩总是使刚体向平衡位置摆动当θ5o时，sinθθ22dImghdt即Mmgh振动周期为：2ITmgh可用该式确定刚体的转动惯量例1:如图m=2×10-2kg,弹簧的静止形变为l=9.8cm，t=0时x0=-9.8cm,v0=0。⑴取开始振动时为计时零点，写出振动方程；（2）若取x0=0，v00为计时零点，写出振动方程,并计算振动频率。XOmx解：⑴平衡位置mg=kl取为原点,向下为x轴正方向。则k=mg/l，当位移为x时，有10/kmglrads三、受恒力作用的振动系统()fmgklx作简谐振动kx22dxmdt0cos()xAtkm令振动方程为：由x0=Acos0=-0.0980cos00,取0=(2)t=0时x0=Acos0=0，故0=/2或3/2而v00，0=3/2由初始条件000()0varctgx或mvxA09802020.)(振动方程为：x=9.810-2cos(10t+)m振动方程为：x=9.810-2cos(10t+3/2)m沿振动方向附加一恒力作用，并不影响其振动情况，只是改变了平衡位置。11.622gHzl固有频率XOmx例2:如图所示，振动系统由一倔强系数为k的轻弹簧、一半径为R、转动惯量为I的定滑轮和一质量为m的物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求其周期T.TmTmga2FmoxkJR解：取位移轴ox，m在平衡位置时，设弹簧伸长量为l，则0lkmg当m有位移x时maTmgRaJRxlkT)(两式联立得：2JkxmaR0222xRJmkdtxd物体作简谐振动22RJmkkRJmT222moxkJRTmTmga2F以弹簧振子为例谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep某一时刻，谐振子速度为v，位移为x)tsin(Av0221mvEk)t(sinkA02221)tcos(Ax0221kxEp)t(coskA02221谐振动的动能和势能是时间的周期性函数4-3简谐振动的能量动能221mvEk)t(sinkA02221势能221kxEp)t(coskA02221情况与动能相同。pppEEE,,minmax0minkE2411kAdtETETttkk2max21kAEk机械能221kAEEEpk简谐振动系统机械能守恒由起始能量求振幅kEkEA022221kAExtTEEpokpEEEtEk(1/2)kA2一、同方向、同频率谐振动的合成)cos(AAAAA102021222121102200110220sinsintgcoscosAAAA)tcos(A)t(x1011)tcos(A)t(x2022质点同时参与同方向同频率的谐振动:)tcos(Axxxx021合振动:4-4简谐振动的合成*振动的频谱分析2A1AA102001x2xx1M2MM上述结果可由旋转矢量法直接得出。,,,kk21021020两分振动相互加强21AAA若两分振动同相：如A1=A2,则A=0,,,k)k(210121020两分振