8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图

步步高大一轮复习讲义第八章空间几何体主页步步高大一轮复习讲义8.1空间几何体的结构及其三视图和直观图主页三视图和直观图表面积和体积空间几何体结构特征柱体的结构特征锥体的结构特征台体的结构特征球体的结构特征三视图(正视、俯视、侧视图)直观图斜二测画法表面积(柱、锥、台、球)体积(柱、锥、台、球)知识网络主页主页简单几何体的结构特征柱体锥体台体球棱柱圆柱棱锥圆锥棱台圆台1.几何体的分类要点梳理忆一忆知识要点主页底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体叫做长方体，棱长都相等的长方体叫做正方体，结合以上定义有如下关系：要点梳理忆一忆知识要点平行六面体主页2．空间几何体的结构特征要点梳理忆一忆知识要点主页几何体几何特征图形多面体棱柱棱柱的上下底面____，侧棱都____且_______，上底面和下底面是_____的多边形．棱锥棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个________的三角形．棱台棱台可由____________的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形_____．要点梳理忆一忆知识要点(1).多面体的结构特征平行平行长度相等全等公共顶点平行于棱锥底面相似主页几何体几何特征图形旋转体圆柱圆柱可以由矩形绕其________________________旋转得到．圆锥圆锥可以由直角三角形绕其____________________________旋转得到．圆台圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由_________________________的平面截圆锥得到．球球可以由半圆或圆绕其________旋转得到．(2)．旋转体的结构特征要点梳理忆一忆知识要点一条直角边所在直线圆锥底面平行于在直线一边所直径主页正视图俯视图侧视图3．空间几何体的三视图要点梳理忆一忆知识要点主页要点梳理忆一忆知识要点空间几何体的三视图是用____________得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是______________的，三视图包括_________、__________、_________．3．空间几何体的三视图正投影完全相同正视图侧视图俯视图长对正高平齐宽相等正视图俯视图侧视图主页主页投影视图中心投影平行投影投影线交于一点投影线平行正投影斜投影直观强、接近实物不改变原物形状三视图直观图正视图侧视图俯视图斜二测画法长对正、高平齐、宽相等4.投影的分类要点梳理忆一忆知识要点主页☃正六棱锥的三视图要点梳理忆一忆知识要点主页正五棱柱的三视图要点梳理忆一忆知识要点主页☃正三棱锥的三视图要点梳理忆一忆知识要点主页(1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝_____________．(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别平行于_____________．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段，长度变为___________．(4)在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段,在直观图中仍平行于z′轴且长度_______．要点梳理忆一忆知识要点6．空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用_______画法，基本步骤是：斜二测45(135)或x′轴、y′轴原来的一半不变主页①②④60①②③⑤③基础自测D题号答案12345主页基础自测5．(2011·浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()A,B的正视图不符合要求,C的俯视图显然不符合要求.D主页题型一探究提高【例1】设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是________．空间几何体的结构特征①④命题①符合平行六面体的定义，故命题①正确．底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直,故命题②错误．因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③错误．命题④由棱台的定义知是正确的．解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可．主页变式训练1对于①,平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行,故①假；对于②,两截面的交线平行于侧棱,且垂直于底面,故②真；下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;②若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中,真命题的编号是________.(写出所有真命题的编号)②④主页变式训练1对于③，作正四棱柱的两个平行菱形截面，可得满足条件的斜四棱柱(如图(1))，故③假；对于④，四棱柱一个对角面的两条对角线，恰为四棱柱的对角线，故对角面为矩形，于是侧棱垂直于底面的一对角线，同样侧棱也垂直于底面的另一对角线，故侧棱垂直于底面，故④真(如图(2))．答案②④主页题型二几何体的三视图【例2】已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为()主页题型二几何体的三视图【例2】已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为()B侧视图主页探究提高根据几何体的直观图，画三视图，要根据三视图的画法规则进行．要严格按以下几点执行:①三视图的安排位置．正视图、侧视图分别放在左、右两边，俯视图放在正视图的下边．②注意实虚线的区别．主页一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示,则该几何体的俯视图为()C变式训练2由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为C.主页题型三空间几何体的直观图【例3】已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形,求原△ABC的面积．解:建立如图所示的坐标系xOy′,△A′B′C′的顶点C′在y′轴上,A′B′边在x轴上，把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴,在y轴上取点C使OC＝2OC′,A,B点即为A′,B′点，长度不变．已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，由正弦定理得OC′sin∠OA′C′＝A′C′sin45°，所以OC′＝sin120°sin45°a＝62a，所以原三角形ABC的高OC＝6a，所以S△ABC＝12×a×6a＝62a2.解:建立如图所示的坐标系xOy′,△A′B′C′的顶点C′在y′轴上,A′B′边在x轴上，把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴,在y轴上取点C使OC＝2OC′,A,B点即为A′,B′点，长度不变．已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，由正弦定理得OC′sin∠OA′C′＝A′C′sin45°，所以OC′＝sin120°sin45°a＝62a，所以原三角形ABC的高OC＝6a，所以S△ABC＝12×a×6a＝62a2.解:建立如图所示的坐标系xOy′,△A′B′C′的顶点C′在y′轴上,A′B′边在x轴上，把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴,在y轴上取点C使OC＝2OC′,A,B点即为A′,B′点，长度不变．已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，由正弦定理得OC′sin∠OA′C′＝A′C′sin45°，所以OC′＝sin120°sin45°a＝62a，所以原三角形ABC的高OC＝6a，所以S△ABC＝12×a×6a＝62a2.解:建立如图所示的坐标系xOy′,△A′B′C′的顶点C′在y′轴上,A′B′边在x轴上，把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴,在y轴上取点C使OC＝2OC′,A,B点即为A′,B′点，长度不变．已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，由正弦定理得OC′sin∠OA′C′＝A′C′sin45°，所以OC′＝sin120°sin45°a＝62a，所以原三角形ABC的高OC＝6a，所以S△ABC＝12×a×6a＝62a2.解:建立如图所示的坐标系xOy′,△A′B′C′的顶点C′在y′轴上,A′B′边在x轴上，把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴,在y轴上取点C使OC＝2OC′,A,B点即为A′,B′点，长度不变．已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，由正弦定理得OC′sin∠OA′C′＝A′C′sin45°，所以OC′＝sin120°sin45°a＝62a，所以原三角形ABC的高OC＝6a，所以S△ABC＝12×a×6a＝62a2.主页题型三空间几何体的直观图【例3】已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形,求原△ABC的面积．对于直观图，除了了解斜二测画法的规则外，还要了解原图形面积S与其直观图面积S′之间的关系，能进行相关问题的计算．探究提高24SS解:建立如图所示的坐标系xOy′,△A′B′C′的顶点C′在y′轴上,A′B′边在x轴上，把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴,在y轴上取点C使OC＝2OC′,A,B点即为A′,B′点，长度不变．已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，由正弦定理得OC′sin∠OA′C′＝A′C′sin45°，所以OC′＝sin120°sin45°a＝62a，所以原三角形ABC的高OC＝6a，所以S△ABC＝12×a×6a＝62a2.解:建立如图所示的坐标系xOy′,△A′B′C′的顶点C′在y′轴上,A′B′边在x轴上，把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴,在y轴上取点C使OC＝2OC′,A,B点即为A′,B′点，长度不变．已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，由正弦定理得OC′sin∠OA′C′＝A′C′sin45°，所以OC′＝sin120°sin45°a＝62a，所以原三角形ABC的高OC＝6a，所以S△ABC＝12×a×6a＝62a2.解:建立如图所示的坐标系xOy′,△A′B′C′的顶点C′在y′轴上,A′B′边在x轴上，把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴,在y轴上取点C使OC＝2OC′,A,B点即为A′,B′点，长度不变．已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，由正弦定理得OC′sin∠OA′C′＝A′C′sin45°，所以OC′＝sin120°sin45°a＝62a，所以原三角形ABC的高OC＝6a，所以S△ABC＝12×a×6a＝62a2.主页【1】已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观图的面积为()23A.4a23B.8a26C.8a26D.16aD主页一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形,它的底角为45°,两腰和上底边长均为1,则这个平面图形的面积是______.ABCDyxo2221211[121]222.2SABCD变式训练3E主页题型四几何体的截面问题【例4】棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，求图中三角形(正四面体的截面)的面积．解:如图所示，△ABE为题中的三角形，由已知得AB＝2，BE＝2×32＝3，BF＝23BE＝233，AF＝AB2－BF2＝4－43＝83，∴△ABE的面积为S＝12×BE×AF＝12×3×83＝2.∴所求的三角形的面积为2.解:如图所示，△ABE为题中的三角形，由已知得AB＝2，BE＝2×32＝3，BF＝23BE＝233，AF＝AB2－BF2＝4－43＝83，∴△ABE的面积为S＝12×BE×AF＝12×3×83＝2.∴所求的三角形的面积为2.解:如图所示，△ABE为题中的三角形，由已知得AB＝2，BE＝2×32＝3，BF＝23BE＝233，AF＝AB2－BF2＝4－43＝83，∴△ABE的面积为S＝12×BE×AF＝12×3×83＝