3.2.1 利用空间向量解决立体几何的向量方法(一)――法向量

1立体几何中的向量方法(一)平面向量空间向量推广到立体几何问题(研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形)向量渐渐成为重要工具从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用.前面,我们把2在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量OP来表示，我们把向量OP称为点P的位置向量.(课本第111页)思考1：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？OP⑴点⑵直线aABP空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定.3对于直线l上的任一点P,存在实数t使得⑵直线aABP空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定.APtAB此方程称为直线的向量参数方程(1OPOAtaOPxOAyOBxy或）⑶平面POba4⑶平面PObaOPxayb空间中平面的位置可以由内两条相交直线来确定.对于平面上的任一点P,存在有序实数对(,)xy,使得除此之外,还可以用垂直于平面的直线的方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.n5给定一点A和一个向量,那么过点A,以向量为法向量的平面是完全确定的.A平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面,记作⊥，如果⊥，那么向量叫做平面的法向量.nnnnnnn几点注意：1.法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有0nmnml6因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则7设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则l∥ma∥bakb；线面平行∥u∥v.ukv注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.线线平行l∥au0au；画出图形意会面面平行8设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则线线垂直线面垂直⊥u⊥v.0vul⊥ma⊥b0ab；l⊥a∥uaku；面面垂直画出图形意会9设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则两直线l,m所成的角为(02≤≤),cosabab；直线l与平面所成的角为(02≤≤),sinauau；二面角─l─的大小为(0≤≤),cos.uvuv画出图形意会以上思考在今后的解题中会经常用到,注意体会.10问题:已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平面的一个法向量?在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)AB,(0,0,2)C,试求平面ABC的一个法向量.(4,3,6)n方法小结解:设平面ABC的一个法向量为(,,)nxyz则nABnAC，.∵(3,4,0)AB,(3,0,2)AC∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0xyzxyz即340320xyxz∴3432yxzx取4x,则(4,3,6)n∴(4,3,6)n是平面ABC的一个法向量.11问题:如何求平面的法向量?⑴设平面的法向量为(,,)nxyz⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)aabcbabc⑶根据法向量的定义建立关于,,xyz的方程组00nanb⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.12练习:1.已知(2,2,1),(4,5,3),ABAC求平面ABC的单位法向量.2.若两个平面,的法向量分别是(1,0,1),(1,1,0)uv,则这两个平面所成的锐二面角的度数是________.122(333，，）或122(333，，）.6013解:设平面ABC的一个法向量为(,,)nxyz则nABnAC，.∴(,,)(2,2,1)0(,,)(4,5,3)0xyzxyz即2204530xyzxyz∴22yxzx①∵2221xyz②∴由①②得13x∴平面ABC的单位法向量为122(333，，）或122(333，，）.练习:1.已知(2,2,1),(4,5,3),ABAC求平面ABC的单位法向量.14练习3:在正方体1111ABCDABCD中，求证：1DB是平面1ACD的法向量证：设正方体棱长为1，以1,,DADCDD为单位正交基底，建立如图所示空间坐标系xyzD1(1,1,1)DB，(1,1,0)AC，1(1,0,1)AD10DBAC，所以1DBAC,同理11DBAD又因为1ADACA所以1DB平面ACD,从而1DB是平面1ACD的一个法向量.15学习小结:本节课主要是认识了直线的方向向量及平面的法向量的概念,这两个向量是运用向量工具解决平行、垂直、夹角等立体几何问题必要的条件.16作业讲评、正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，且AC与BD交于点O，E为棱DD1的中点。求证：B1O⊥平面EAC。zyx解：如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0）,B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）E（0，2，1），B1（2，0，2）O是正方形ABCD的中心，O（1，1，0）A1DCBAB1D1C1OE1(1,1,2)BO(2,2,0)AC(0,2,1)AE即B1O⊥AC，B1O⊥AE，又ACAE=AB1O⊥平面EAC1(1,1,2)(2,2,0)1212200BOAC1(1,1,2)(0,2,1)1012210BOAE1BOAC1BOAE