高等数学-现象代数1-3

一、概念的引入三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD322113312312332211aaaaaaaaa332112322311312213aaaaaaaaa说明（1）三阶行列式共有项，即项．6!3（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列．例如322113aaa列标排列的逆序数为,211312t322311aaa列标排列的逆序数为,101132t偶排列奇排列正号,负号.)1(321321333231232221131211ppptaaaaaaaaaaaa二、n阶行列式的定义nnnnnnnppptaaaaaaaaaDaaannnn212222111211212.)1(21记作的代数和个元素的乘积取自不同行不同列的阶行列式等于所有个数组成的由定义).det(ija简记作的元素．称为行列式数)det(ijijaa为这个排列的逆序数．的一个排列，，，，为自然数其中tnpppn2121nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD212121212122221112111说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、阶行列式是项的代数和;n!n3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列个元素的乘积;nn4、一阶行列式不要与绝对值记号相混淆;aa5、的符号为nnpppaaa2121.1t例1计算对角行列式0004003002001000分析展开式中项的一般形式是43214321ppppaaaa41p若,011pa从而这个项为零，所以只能等于,1p4同理可得1,2,3432ppp解0004003002001000432114321t.24即行列式中不为零的项为.aaaa41322314例2计算上三角行列式nnnnaaaaaa00022211211分析展开式中项的一般形式是.2121nnpppaaa,npn,11npn,1,2,3123ppnpn所以不为零的项只有.2211nnaaannnnaaaaaa00022211211nnntaaa2211121.2211nnaaa解例3?8000650012404321D443322118000650012404321aaaaD.1608541同理可得下三角行列式nnnnnaaaaaaa32122211100000.2211nnaaan21.12121nnn;21nn21例4证明对角行列式n2111,212111nnnnntaaa.12121nnn证明第一式是显然的,下面证第二式.若记,1,iniia则依行列式定义11,21nnnaaa证毕例5设nnnnnnaaaaaaaaaD2122221112111nnnnnnnnnnabababaabababaaD221122222111112112证明.21DD证由行列式定义有nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121212121222211121111nnnnnnnnnnabababaabababaaD221122222111112112nnnnpppnnppppppppptbaaa2121212121211由于,2121npppn所以.12211212121DaaaDnnnnppppppppptnnnnpppnnppppppppptbaaaD21212121212121nnnnppppppppptaaa212121211故1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.2、阶行列式共有项，每项都是位于不同行、不同列的个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.nn!n三、小结思考题已知1211123111211xxxxxf.3的系数求x思考题解答解含的项有两项,即3x1211123111211xxxxxf对应于4334221112341aaaat443322111aaaat,1344332211xaaaat343342211123421xaaaat.13的系数为故x