高等数学A(一)复习资料及PPT 上海大学出版社7

1总复习（2）高等数学A(一)2五、函数有界、极限、连续与可导的关系收敛数列（函数）的性质(唯一性,有界性,保号性)极限不存在极限为数列有界数列无界数列收敛数列发散无穷大量无界变量3函数在x0处极限存在函数在x0处有定义函数在x0处连续函数在x0处可导函数在x0处可微)()(lim00xfxfxxAxfxx)(lim0xyxfx00lim)()()(0xoxxfy存在)(0xf4.)(),(sin)(cos内是在xexxxf(A)有界函数(B)单调函数(C)周期函数(D)偶函数D则为二阶可导的奇函数，设)(xf.____)]([函数为xff∵f(x)是奇函数，为偶函数，)(xf为奇函数，)(xf)]([xff)]([xff)]([xff奇显然是偶函数。)]([xff选择与填空5下列命题不成立的是（）.C.连续的奇函数的原函数是偶函数；D.连续的偶函数的原函数是奇函数。A.可导的奇函数的导函数是偶函数；B.可导的偶函数的导函数是奇函数；.)()(CxFdxxf奇偶偶奇D？6下列函数中，是无界函数但不是无穷大量的是().;1arctan)(2xxA时，当x;)(4xeBx;)1()(1xexC.cos)(3xxDD下列命题正确的是().(A)无界变量就是无穷大量；(B)无穷大量是无穷小量的倒数；(C)f(x)在点x0不可导,必在x0处不连续;(D)f(x)在[a,b]连续,必在[a,b]有界。D7设f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，,21bxxa下列结论不成立的是().),(),()()()(.baabfafbfA),(),)(()()(.1212baxxfxfxfB),(),()()()(.21xxabfafbfC),(),)(()()(.211212xxxxfxfxfD),(.21xxB),(ba),(.baC),(21xxCA、D显然成立，8,0,110,cos1)(xxxxxxxf设则f(x)在x=0处().(A)极限不存在(B)极限存在但不连续(C)连续但不可导(D)可导xxfx2lim)00(20=0)0()00(ff)0(fxxxfx11lim)0(0.1C,09,0,00,1sin)(xxxxxf设若f(x)在x=0处连续,则α_______;若f(x)在x=0处可微,则α_______。,)0(01sinlim0fxxx要使?00存在，要使xxxx0sinlim10?1110设f(x)在x0处可导，且.)()(,41)()2(lim0000xfxfhxfhh则;2)(A;2)(B;4)(C.4)(Dhxfhxfh)()2(1lim000原式)(1210xfB-2-2,4124)(0xf11hhxfh1)1(lim0设f(x)在x=x0处可微,且,0)(0xf._________)1(lim,1)(00hxfhxfh则)1(lim0hxfhh)(0xf1——)(0xf.1”“0012设f(x)在x=0的某邻域内二阶可导，),0(),0(,0)(lim,2)0(0ffxxffx试求.))(1(lim10xxxxf及解：,0)(lim0xxfx0)(lim0xfx)0lim(0xx处可导在0)(xxf处连续，在0)(xxf)0()(lim0fxfx=0；0)0()(lim)0(0xfxffxxxfx)(lim0=0；13设f(x)在x=0的某邻域内二阶可导，),0(),0(,0)(lim,2)0(0ffxxffx试求.))(1(lim10xxxxf及xxxxf10))(1(lim”“1)(0))(1(limxfxxxxf2)(xxf=exxfx2)(lim0是否连续？)(xfxxfxe)(lim210)0(f0)0(21fe=e.14函数的增减性与单调区间函数的凹凸区间与拐点及其判别函数的极值及其判别条件求函数的最大值与最小值作函数的图形，求渐近线曲线的切线方程与法线方程六、导数的应用最值的应用15用使得(尖点)来划分函数的定义区间，讨论各区间上的符号，)(xf来确定f(x)在各区间上的单调增减性。不存在的点)(xf的点0)(xf及第二充分条件利用第一充分条件，在上述所分区间上，判断函数的极值点，并求出极值。求函数的单调区间：(注意取得极值的必要条件)求函数的极值：16不存在的点或求出)(0)(xfxf坐标为(x0,y0)。))((0点附近是否变号在即看xxf求函数的凹凸区间与拐点：来划分函数的定义区间，讨论各区间上的符号，)(xf确定f(x)在各区间上的凹凸性求函数的最大值与最小值：求出函数驻点(或导数不存在的点)处与端点处函数值比较——最大者为最大值，最小者为最小值。对综合情况，列表讨论！的函数值，凹弧与凸弧的分界点为拐点，17驻点与极值点的关系驻点x00)(0xf极值点可导函数的极值点极值点与最值点的关系极值点最值点18例题讨论一、选择题1.下列结论中正确的是（）A.000,0)()(xxxfxf则不能断定若是函数的极值点。B.若x=x0是函数f(x)的极值点,.0)(0xf则C.函数f(x)在区间(a,b)内的极大值一定大于极小值。D.0000)(,0)(xxfxf的点使是函数f(x)的极大值点。C19满足罗尔定理条件的是().3.下列函数中，在[-1,1]上;)(.xexfA;ln)(.xxfB;arcsin)(.xxfC.11)(.2xxfDC).(,)(.20则必有处取到极大值在设xxf;0)(.0xfA;0)(.0xfC;0)(.0或不存在xfB.0)(0)(.00xfxfD且B20).(,1)()()(lim.42处则在设axaxafxfax;0)()()(afxfA的导数存在，且;)()(取得极大值xfB;)()(取得极小值xfC。不存在)()(xfD即在x=a的某领域内，,0)()()(2axafxf有由极限的保号性，,)()(afxf。为极大值)(afB212.,1212xxy设则它在点x=____处有极____值，其值为_______。2大5232)1(2xxy3.,ln2xxy设最大值=___________，上的则它在]1,1[e最小值=___________。0)1(feef21)1(xxxyln2=0.,021ex22)(xfy曲线：在x0处的切线方程：)()(0xfxf)(0xf)(0xx在x0处的法线方程：)()(0xfxf)(10xf)(0xx)0)((0xf曲线的切线方程与法线方程23的对应点在求曲线0010)1(tyetxtxy处的切线方程。解：参数方程中含有隐函数，方程两边对t求导：0)1(xtxx;11txx0yyeteyy;1yyeteyttxyxdyd.)1)(1()1(xetteyyt=0时，1,0yx.10exdydt切线方程：.11xey求切线斜率,dxdytt24将边长为l的正三角形铁皮的三只角剪掉，做成如图的三个全等四边形后，将边折起，做成一个无盖正三棱柱盒子，当剪去的x为何值时，盒子的容积最大？xABCDl设三棱柱的高为h,解：ADh260tan0x,3x0260sin)2(21xlS函数最值问题的应用25ADh,3x0260sin)2(21xlS2)2(43xl目标函数2)2(41xlxShV)20(lx)6)(2(41lxlxV0V令2lx,D舍去；6lx为D内唯一驻点，问题中存在最大值，时盒子容积最大。6lx26已知一点(x0,y0),)0,0(yx过此点作一直线，使它在两坐标轴上的截距都为正，且使截距之和为最小，求此直线方程。解：设所求直线)(00xxyyk求截距：00xkyxky1xy00xkykxky00与x轴的截距X=000kyxk与y轴的截距Y=000xkyYXF目标函数kyx0000xky27YXF)(目标函数kyx0000xky,0,000yx,0,0YX要使.0kk)(kF20ky0x,2020kxky0)(kF令,00xyk00xyk－取为D内唯一驻点，,230kyF又)(00xyF0，且为最小值点；∴所求直线方程：)(00xxyy00xy－28求单位球内接正圆锥体的最大体积。作切线，使此切线被两坐标轴所截的线段长度为最短，并求此最短长度。处上的任意点在曲线Pxxy)0(12解：设P(x0,y0),xy0Px032xy则P点处切线方程：)(20300xxxyy(复习一下物体的面积、体积公式等)98级考题中：29xy0Px0)(20300xxxyyP点处切线方程：12210200300yxyyxxxl∴线段长度030021yxxx截距,230x)1(200xy0202yxy203x0203022yxyxx22yxlxy302220)(yxlxF作,230xx截距203xy)14(94020xx)0(0x)42(9)(5000xxxF0)(0xF令5060829xx02)(8332060xx20x舍去）（,20Dx为唯一驻点，问题中存在最小值，),21,2(P所求最短长度.233427l31函数的性态与作图作图步骤：1～7考察函数的定义域与奇偶性函数的一阶与二阶导数必须求准把驻点等代入相应导数中判断符号判断有无渐近线拐点要用点的坐标表示321.零点定理（证明方程根的存在性）2.介值定理4.罗尔定理（证明导函数的零点存在）5.拉格朗日(Lagrange)中值定理（①导数与增量比的关系，②证明不等式）3.最大最小值定理七、利用定理进行证明6.利用函数单调性证明不等式7.泰勒公式33L—定理的条件与结论：使至少),,(ba内可导，，在连续上在)(,],[)(babaxf))(()()(abfafbf及其它定理的条件与结论,知道：泰勒公式的展开式及余项的形式。罗尔定理)()()(faxafxf使至少),,(),(baxaaxaflim)(alim闭区间上连续函数的性质(条件与结论)34证明函数可微性的主要方法：•利用函数的连续性找f(x0)•利用导数的定义•利用L—中值定理•利用函数极限与无穷小的关系35无穷小与函数极限的关系Axf)(lim.0lim,)(AxfAxyx0lim.0lim,Axy)(0xf)(0xf36证明不等式的常用方法：•作出适当的函数•利用函数的单调性•求出函数的最值（当函数不单调时）•利用L—中值定理（当不等式有增量形式时）•利用泰勒公式37证明恒等式的常用方法：•利用罗尔定理（要验证条件）•利用L—中值定理•利用L—中值定理的推论：Cxfxf)(0)(无具体函数时，从结论出发找辅助函数F(x)。38•证明方程f(x)=0有根证明方程根的存在性与唯一性：零点定理•证明方程f'(x)=0有根罗尔定理•证明方程根的唯一性①利用函数的单调性②利用罗尔定理反