第三章 杆件的应力与强度计算(扭转轴)

MechanicsofMaterials§3-1引言§3-2拉（压）杆的应力与应变§3-3材料在拉伸和压缩时的力学性能§3-4失效、许用应力和强度条件§3-6薄壁圆筒的扭转§3-7圆轴扭转时的应力与强度条件§3-8纯弯曲时梁的正应力§3-9横力弯曲时梁的正应力.弯曲正应力强度条件§3.10弯曲切应力.弯曲切应力强度条件§3-11梁的合理设计§3-12剪切与挤压的实用计算§3-13应力集中§3-6薄壁圆筒的扭转1.实验前（1）画纵向线，圆周线；（2）施加一对外力偶.一、应力分析(Analysisofstress)dxxMeMe2.实验后（1）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；（2）各纵向线均倾斜了同一微小角度；（3）所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形.薄壁圆筒：壁厚（r0—圆筒的平均半径）0101r3.推论（1）在横截面及包含轴线的纵向截面上均无正应力，只有切应力；因壁厚很小—可近似地认为沿壁厚方向各点处切应力的数值无变化。MeMe薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布，与半径垂直，指向与扭矩的转向一致。（2）横截面上各点处的切应力方向必与圆周相切（或与半径垂直)，且数值相等。设想薄壁圆筒扭转后，横截面保持为形状，大小均无改变的平面，相邻两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。4.推导公式trTTtrrAdrTrAdAA20000022TtATtrT02022，A0为以薄壁圆筒平均半径r0所作圆的面积。rA200引入xdydxyz二、切应力互等定理ττ1.在单元体左、右面（杆的横截面）只有切应力，其方向与y轴平行.由平衡方程0yF可知，两侧面的内力元素大小相等，方向相反，将组成一个力偶.yd其矩为xyddxydyzdxττ2.要满足平衡方程在单元体的上、下两平面上必有大小相等，指向相反的一对内力元素它们组成力偶，其矩为此力偶矩与前一力偶矩数量相等而转向相反，从而可得00xzFMyxddxydd3.切应力互等定理该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。纯剪切单元体单元体四个侧面上只有切应力而无正应力，则称为纯剪切单元体.xydyzdxττMeMel式中，r为薄壁圆筒的外半经.三、剪切胡克定律由图所示的几何关系得到lrtandxδABDC圆筒两端截面之间相对转动的角位移，称为相对扭转角，用表示。圆筒表面上每个格子的直角的改变量，称为切应变。用表示。T=Me)()2(0rltAT剪切虎克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp)，切应力与切应变成正比关系。G薄壁圆筒的扭转试验发现，当外力偶Me在某一范围内时，与Me（在数值上等于T）成正比.G式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因无量纲，故G的量纲与相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系：可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。)(EG12关系变形几何关系物理关系静力观察变形提出假设变形的分布规律应力的分布规律建立公式§3-7圆杆扭转的应力与强度条件1.变形现象（1）轴向线仍为直线，且无伸缩；（2）横向线大小、形状均不变，且仍与轴线垂直；一、变形几何关系（4）径向线保持为直线，只是绕轴线旋转。2.平面假设变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面.（3）纵向线变形后倾斜了一个角度γ，仍为平行。3.变形几何关系：xdd任一点处的切应变与其到圆心的距离成正比。dxdRtgγ—圆截面边缘上点的切应变距圆心为ρ的一点的切应变为xdd——扭转角沿长度方向变化率。对一确定平面，constxdd二、物理关系由剪切虎克定律代入上式得：GxGGddxGdd同一圆周上各点切应力均相同，且其值与成正比，与半径垂直。xdd三、静力关系OdAAxGAxGATAAAddddddd22AIApd2令xGITpddpGITxdd代入物理关系式得：xGddpITpIT—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。四、公式讨论：①仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。②式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。—该点到圆心的距离。Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。单位：mm4，m4。AIApd2③尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。4420221032d2dD.DAIDAp对于实心圆截面：DdO对于空心圆截面：)1(10)1(32)(32d2d4444442222D.DdDAIDdAp)(DddDOd④应力分布（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。⑤确定最大剪应力：pIT由知：当max,2dR)2(22maxdIWWTdITIdTptpp令tWTmaxWt—抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：332016D.DRIWpt对于空心圆截面：)-(12016)1(4343D.DRIWpt[例6]实心圆轴１和空心圆轴2（图a、b）材料、扭转力偶矩m和长度l均相等，最大切应力也相等。若空心圆轴的内外径之比为=0.8，试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴的重量比。解：设实心圆截面直径为d1，空心圆截面的内、外径分别为d2、D2;又扭转力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，设为T。ld2D2ld1(a)(b)2max1max由已知21ttWW有ld2D2ld1(a)(b)22max11maxttWTWT21ttWTWT16)1(164322311DWdWtt16)1(1643231Dd因此194.18.0113412dD解得两轴材料、长度均相等同，故两轴的重量比等于两轴的横截面积之比，512.0)8.01(194.1)1(4)(4222122221222212dDddDAA说明：在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，即节省材料。五、圆轴扭转时的强度计算强度条件：对于等截面圆轴：][max][maxtWT([]称为许用剪应力。)强度计算三方面：①校核强度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：][maxmaxtWT][maxTWt][maxtWT）（空：实：43311616DDWt[例7]功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力[]=30MPa,试校核其强度。nPmTBC2103m)(kN551m)(N4151432101503...Tm解：①求扭矩及扭矩图②计算并校核剪应力强度③此轴满足强度要求。D3=135D2=75D1=70ABCmmx][MPa23160701055133max..WTt