第八讲 机器人动力学 牛顿-欧拉方程

山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.6小节机器人的杆件的速度山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.6机器人的杆件的速度基本思路：已知基座速度和各关节的相对速度，从基座速度开始，一步一步递推出末端执行器的速度。山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4.3、机器人的杆件的速度机器人杆件的速度包括线速度和角速度，下面介绍如何从i杆件的速度递推计算i+1杆件的线速度和角速度。如图所示，设已知i杆件的速度为ωi和vi，i+1杆件绕Zi+1轴旋转的角速度为。1i山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4.3、机器人的杆件的速度则：在{i+1}坐标系中表示的i+1杆件杆的角速度为：111111ˆiiiiiiiiiZR在{i+1}坐标系中表示的i+1坐标系原点的线速度为：)(1111iiiiiiiiiipvRv在{i+1}中表示的i+1杆的角速度其中是在{i}中表示的指向{i+1}原点的距离。1iip山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4.3、机器人的杆件的速度例1、一两杆关节机器人如图所示，计算以关节速度为函数的手尖处的速度。山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4.3、机器人的杆件的速度解：1、建立坐标系，如图：2、求位姿矩阵：100001000022022112cslscM100001000011001101csscM100001000010001223lM山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4.3、机器人的杆件的速度得：212233000)(220)(0022212111121211112333lclsllclslRv21220000011v11100022001000220221111122clsllcsscv1杆在{1}中表示的速度山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4.3、机器人的杆件的速度如果在基座坐标系中表示，仅需乘以R03。100012120121223120103csscRRRR0)(121)(12121211212113303303330clclslslvRv则：山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4.3、机器人的杆件的速度例2、试求例1中两杆关节机器人的雅克比矩阵。解：由例1知：212233000)(22212111133lclslvθJllclsllclslv32122112121211113333311202)(22v则：及山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4.3、机器人的杆件的速度雅克比矩阵的行数等于笛卡尔空间自由度，列数等于机器人的关节数。同理，我们可以求相对基座坐标系的雅克比矩阵。0)(121)(1212121121211330330clclslslvRv1212112121)(2212210clclclslslslJ所以：10山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4.3、机器人的杆件的速度雅克比矩阵的逆为：121121121221)(2121222110clslclclslclsllJ当手尖沿X方向以速度1m/s运动时，由雅克比逆矩阵可得：Tv)0,1(021221,21222211slcslcslc当θ2=0时，上式分母为零，两关节速度将趋于无穷大，它对应机器人的奇异位置。01121121121221)(212122211021clslclclslclsllvvJyx山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02第4章机器人操作动力学4.1、概述4.2、机器人的牛顿-欧拉动力学方程4.3、机器人拉格朗日动力学方程简介山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.1、概述为什么要研究机器人的动力学问题？1、为了运动杆件，我们必须加速或减速它们，机器人的运动是作用于关节上的力矩与其他力或力矩作用的结果。2、力或力矩的作用将影响机器人的动态性能。山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.1、概述机器人动力学研究内容：–正问题：已知作用在机器人机构上的力和力矩，求机器人机构各关节的位移、速度、加速度，即：F=ma。–反问题：已知机器人机构各关节的位移、速度和加速度，求作用在各关节上的驱动力或驱动力矩，即：am=F。山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.1、概述机器人动力学研究方法：–目标：根据机器人机构的结构特点、运动学和动力学原理，提出通用、快捷的建立动力学方程的方法。–数学工具：矢量方法、张量方法、旋量方法及矩阵方法等。–力学原理：动量矩定理、能量守恒定理、牛顿－欧拉方程、达朗贝尔原理、虚功原理、拉格朗日方程、哈密尔顿原理、凯恩方程等。山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.1、概述几项假设：1、构成机器人的各杆件都是刚体，即不考虑杆件的变形。2、忽略各种间隙等因数的影响。3、暂不考虑驱动系统的动力学。15山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.2机械人的牛顿—欧拉方程机器人动力学的特点：1、串联机器人由多个杆件经关节轴串联构成，属于多体动力学的研究范畴。2、各杆件的速度、加速度是关节位置及时间的函数，随机器人杆件构形的不同而改变。3、机器人动力学的计算复杂，多采用数值递推的方法计算。山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.2机械人的牛顿—欧拉方程我们知道：刚体运动=质心的平动+绕质心的转动其中：质心平动：用牛顿方程描述。绕质心的转动：用欧拉方程定义。它们都涉及到质量及其分布，我们先复习一下转动惯量的计算。山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.2机械人的牛顿—欧拉方程如图所示，设刚体的质量为，以质心为原点的随体坐标系下的惯量矩阵由六个量组成，表示为：一、惯量矩阵（张量）图3.1CxyzXYZOrpcPmx’y’z’mCxyzCI2222()()xiiimyzyzdmI2222()()yiiimzxzxdmI2222()()ziiimxyxydmIxyyxiiiiimxyxydmIIyzzyiiiiimyzyzdmIIzxxziiiiimzxzxdmII式中：zzyzxzyzyyxyxzxyxxcIIIIIIIIII山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.2机械人的牛顿—欧拉方程0xyyzxzIII000000xCyzIIII惯量矩阵中的元素称为惯量矩(Massmomentsofinertia)，而具有混合指标的元素称为惯量积(Massproductsofinertia)。对于给定的物体，惯量积的值与建立的坐标系的位置及方向有关；如果我们选择的坐标系合适，可使惯量积的值为零。这样的坐标系轴称为主轴（Principleaxes）,相应的惯量称为主惯量。事实上，主惯量是惯量矩阵的三个特征值。zzyyxxIII和、山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.2机械人的牛顿—欧拉方程平行轴定理（Parallel-axistheorem）:已知相对于某一原点位于物体质心坐标系{C}的惯量张量，坐标系{A}平行于坐标系{C}，则相对于{A}坐标系的惯量张量为：),(),(),(222222cczzCzzAccyyCyyAccxxCxxAyxmIIzxmIIzymIIccxzCxzAccyzCyzAccxyCxyAzmxIIzmyIIymxII其中：为质心相对于{A}坐标系的坐标。),,(cccczyxP20山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.2机械人的牛顿—欧拉方程二、牛顿—欧拉方程我们假设机器人的每个杆件都为刚体，为了运动杆件，我们必须加速或减速它们，运动杆件所需要的力或力矩是所需加速度和杆件质量分布的函数；牛顿方程和用于转动情况的欧拉方程一起，描述了机器人驱动力矩、负载力（力矩）、惯量和加速度之间的关系。山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.2机械人的牛顿—欧拉方程我们先研究质心的平动，如图4.1所示，假设刚体的质量为，质心在C点，质心处的位置矢量用表示，则质心处的加速度为；设刚体绕质心转动的角速度用表示，绕质心的角加速度为，根据牛顿方程可得作用在刚体质心C处的力为：mωcmFcCxyzXYZOrpcPmx’y’z’图4.1cε山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.2机械人的牛顿—欧拉方程根据三维空间欧拉方程，作用在刚体上的力矩为：CCM=Iε+ω×IωCxyzXYZOrpcPmx’y’z’•图4.1以上两式合称为牛顿—欧拉方程。式中，M为作用力对刚体质心的矩，为绕质心的角速度和角加速度。和山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.2机械人的牛顿—欧拉方程三、加速度计算1、线加速度如图所示，设坐标系i与i-1杆固联，其原点加速度为ai-1,角速度为ωi-1;Oi+1随杆件i相对i坐标系旋转，相对转速为。P为i杆上任意一点。i15山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.2机械人的牛顿—欧拉方程Pi点的相对速度和加速度为：Pi点的绝对加速度为：)(1-iiiiiipiPPaa)(21-1-1-1-1-iiiieiiieiipiPaPvaaerk)(.iiiiiieiiiePPdtdaPv])[()()1-1-1-1-iiiiiiiiipiPPaa（代入并化简得：即：上述参数都是在基础坐标系中表示的。26山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.2机械人的牛顿—欧拉方程i+1坐标系原点的加速度为：)(1-iiiiiiciccaa设i杆件质心为ci,则其加速度为：2、角加速度i杆的角加速度为：)(1-1iiiiiioiaaaaiiii1-i1-山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.2机械人的牛顿—欧拉方程四、作用力和力矩计算出每个杆件质心的加速度后，我们可以应用牛顿-欧拉方程来计算作用在每个杆件质心的惯性力和惯性力矩。根据牛顿-欧拉方程，有：iciiiciiciiiIINvmF28山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.2机械人的牛顿—欧拉方程图2构件受力图如图2所示，将第i个构件Li作为隔离体进行分析，作用在其上的力和力矩有：1,.1iiiimm作用在i杆件上的外力和外力矩，i