第四章 第五节 数系的扩充及复数的引入

第五节数系的扩充与复数的引入1.复数的有关概念（1）定义：形如a+bi(a,b∈R，i是虚数单位)的数叫作复数，其中a叫作_____，记作a=Rez，b叫作_____，记作b=Imz.复数通常表示为：z=a+bi（a，b∈R），复数的全体组成的集合叫作复数集，记作__.实部虚部C(2)分类：满足条件(a,b为实数）复数的分类a+bi为实数⇔____a+bi为虚数⇔_____a+bi为纯虚数⇔b=0b≠0a0,b0______(3)复数相等：a+bi=c+di⇔(a,b,c,d∈R).(4)共轭复数：当两个复数的实部_____，虚部互为_______时，将这两个复数叫作互为共轭复数，即z=a+bi（a,b∈R)，则=_____(a,b∈R).(5)复数的模：设复数z=a+bi在复平面内对应的点是Z(a,b),点Z到原点的距离_____叫作复数z的模或绝对值，记作|z|，显然|z|=|a+bi|=________(a,b∈R).ac,bd______相等相反数a-bi|OZ|22abz2.复数的几何意义（1）复平面的概念：当用直角坐标平面内的点来表示_____时，称这个直角坐标平面为复平面.(2)实轴、虚轴：在复平面内,x轴称为_____,y轴称为_____，实轴上的点都表示_____；除原点以外，虚轴上的点都表示______.（3）复数的几何表示：复数z=a+bi(a,b∈R)复平面内的点________平面向量___.实轴虚轴实数纯虚数一一对应一一对应OZ复数Z（a,b)3.复数的四则运算（1）运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)，则运算名称符号表示语言叙述加减法z1±z2=(a+bi)±(c+di)=_______________把实部、虚部分别相加减乘法z1·z2=(a+bi)(c+di)=_________________按照多项式乘法进行，并把i2换成-1除法=(c+di≠0)把分子、分母分别乘以分母的共轭复数，然后分子、分母分别进行乘法运算(a±c)+(b±d)i(ac-bd)+(ad+bc)i12abicdizabizcdicdi(cdi)2222acbdbcadicdcd_______________（2）复数加法的运算律:设z1,z2,z3∈C，则复数加法满足以下运算律:①交换律：z1+z2=_____；②结合律：(z1+z2)+z3=__________.（3）乘法的运算律：z1·z2=_______(交换律），（z1·z2)·z3=_____________(结合律），z1(z2+z3)=________(乘法对加法的分配律）.z2·z1z1·（z2·z3)z1z2+z1z3z2+z1z1+(z2+z3)（4）正整数指数幂的运算律（m,n∈N+)：zmzn=zm+n,(zm)n=___,(z1z2)n=_____.zmnz1nz2n判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.（1）方程x2+x+1=0没有解.()（2）复数z=a+bi(a,b∈R)中，虚部为bi.()（3）复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.()（4）原点是实轴与虚轴的交点.()（5）复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.()（6）复数的加减运算类似于多项式的加减运算，乘法运算类似于多项式的乘法运算，除法运算类似于分母有理化，在乘除运算中要注意i2=-1.()【解析】（1）错误.在实数范围内，方程x2+x+1=0没有实数解；但在复数范围内，此方程有解，且解为故不正确.（2）错误.根据复数的概念，在复数z=a+bi(a,b∈R)中，虚部应为b.故不正确.（3）错误.只有当两个复数都为实数时，它们才能比较大小，其他情况不能比较大小.故不正确.（4）正确.原点在实轴上，也在虚轴上.故正确.13ix.2（5）正确.根据复数的几何意义可知此结论正确.（6）正确.根据复数的四则运算的法则，结论正确.答案：（1）×（2）×（3）×（4）√（5）√（6）√1.已知a∈R，若(1－ai)(3＋2i)为纯虚数，则a的值为()(A)(B)(C)(D)【解析】选A.(1－ai)(3＋2i)＝(3＋2a)＋(2－3a)i为纯虚数，故得a＝3  232232332a023a0,＋＝，－3  .22.复数(i是虚数单位)的实部是()(A)(B)(C)(D)【解析】选A.实部为.i12i＋25251515i21i12i55＝，＋253.若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则()(A)a＝1，b＝1(B)a＝－1，b＝1(C)a＝1，b＝－1(D)a＝－1，b＝－1【解析】选C.由(a＋i)i＝b＋i，得：－1＋ai＝b＋i，根据复数相等得：a＝1，b＝－1.4.已知i为虚数单位，则复数对应的点位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限【解析】选C.z＝故复数对应的点为位于第三象限.23iz1i－＝＋23i1i23i15i15i,1i1i(1i)222－－－－－＝＝＝－－＋－＋15,22()，5.设z1是复数，(其中表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是－1，则z2的虚部为________.【解析】设z1＝x＋yi(x，y∈R)，则z2＝x＋yi－i(x－yi)＝(x－y)＋(y－x)i，故有x－y＝－1，则y－x＝1.答案：1211zziz＝－1z考向1复数的概念【典例1】（1）（2012·江西高考）若复数z=1+i(i为虚数单位),是z的共轭复数，则的虚部为()(A)0(B)-1(C)1(D)-2（2）（2012·湖南高考）已知复数z=(3+i)2(i为虚数单位)，则|z|=______.（3）（2012·江苏高考）设a,b∈R，a+bi=（i为虚数单位），则a+b的值为_______.z22zz117i12i【思路点拨】题号分析（1）先求得，然后化简最终得到虚部（2）先把复数化简成a+bi的形式，再求模（3）利用复数的除法和乘法的法则，特别注意分母实数化的应用z22zz，【规范解答】（1）选A.因为z=1+i，所以=1-i，∴=(1+i)2+(1-i)2=2i-2i=0，故虚部为0.（2）由条件得z=(3+i)2=9+6i-1=8+6i,答案：10（3）∵a+bi=∴a=5,b=3,∴a+b=8.答案：8z22zz，22z8610.117i12i117i53i12i5，【互动探究】本例题（3）的条件不变，结论改为“则复数z=a+bi的共轭复数=________”.结果如何？【解析】由本例题（3）的解题过程可得z=5+3i，所以=5-3i.答案：5-3izz【拓展提升】解答复数概念题的关注点(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，解题时只需把复数化为a+bi（a，b∈R）的形式，确定出实部、虚部即可．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模实际上就是指复平面上的点Z到原点O的距离；|z1－z2|的几何意义是复平面上的点Z1,Z2之间的距离．22zab＝＋，【变式备选】（1）若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为()(A)-2(B)4(C)-6(D)6【解析】选C.∵复数是纯虚数,a3i12ia3i12ia3i12i12i(12i)a632aia632ai.555a3i12ia60,5a6.32a0,5（2）已知a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若为纯虚数，则复数的虚部为________.【解析】∵为纯虚数，故的虚部为1.答案：112zz12zz122ai12iz2ai22aa4i.z12i12i12i55＋＋＋－＋＝＝＝＋－－＋12zz22a0a45a1,1,a4505－＝，＝＋，12zz考向2复数的几何意义【典例2】(1)在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是()(A)1－2i(B)－1＋2i(C)3＋4i(D)－3－4i(2)复数(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限ABCBCA20141ii1i（3）（2013·西安模拟）已知f(x)=x2,i是虚数单位，则在复平面内复数对应的点在()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限f1i3i【思路点拨】（1）根据复数加法的几何意义求解．(2)先把复数化为a+bi(a,b∈R)的形式，再判断对应的点所在的象限.（3）求出复数再判断对应的点所在的象限.f1i3i，【规范解答】（1）选D.向量对应的复数是2＋i，则对应的复数是－2－i，∵∴对应的复数是(－1－3i)＋(－2－i)＝－3－4i.(2)选B.故复数对应的点是(-1,1)，在第二象限.ABBACACBBA＝＋，CA22014450321i1iii1i1i1i1i，（3）选A.故复数对应的点是()，在第一象限.2f1i1i2i3i2i26i13i3i3i3i3i3i1055，13,55【拓展提升】对复数几何意义的理解及应用(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.OZOZ【变式训练】（1）已知i是虚数单位，则复数z=i+2i2+3i3所对应的点落在()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限【解析】选C.z=i+2i2+3i3=i-2-3i=-2-2i，对应的点是(-2,-2)，故选C.（2）已知复数的对应点在复平面的第二、四象限的角平分线上，则实数a=_____.【解析】已知复数=-1-(a+1)i,由题意知a+1=-1，解得a=-2.答案：－2aiiiaiii考向3复数代数形式的四则运算【典例3】(1)(2012·辽宁高考)复数=()(2)(2012·安徽高考)复数z满足：(z-i)(2-i)=5,则z=()(A)-2-2i(B)-2+2i(C)2-2i(D)2+2i2i2i3434AiBi555543C1iD1i55(3)若z=cosθ+isinθ（i为虚数单位），则使z2=1成立的θ值可能是()(A)(B)(C)(D)π643【思路点拨】（1）将复数进行分母实数化，根据复数代数形式的四则运算法则计算.（2）将等式化简，根据复数代数形式的四则运算法则进行计算.（3）先求出z2，再根据条件得到关于θ的三角函数关系式，验证求解即可.【规范解答】(1)选A.(2)选D.(z-i)(2-i)=5⇔z-i==2+2i.（3）选D.z2=(cosθ+isinθ)2=cos2θ+isin2θ=1,∴cos2θ=1,sin2θ=0,∴θ=kπ,k∈Z,经验证知选项D成立.222i2i2i44ii34i34i.2i2i2i4i55552i5zi2i2i(2i)【拓展提升】几个常用结论在进行复数的四则运算时，记住以下结论，可提高计算速度.(1)(1±i)2=±2i;(2)-b+ai=i(a+bi).(3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,n∈N+.1i1ii;i.1i1i【变式训练】(1)(2012·天津高考)i是虚数单位，复数=()(A)2+i(B)2-i(C)-2+i(D)