高阶线性微分方程复习

二阶常系数齐线性微分方程0yqypy特征方程02。qp特征根通解形式)(21实根xxeCeCy2121)(21实重根)(211xCCeyx)(i2,1共轭复根)sincos(21xCxCeyxn阶常系数齐线性微分方程的特征方程为单实根xCe1项实重根k)(121kkxxCxCCek项一对共轭复根)sincos(221xCxCex项0111nnnnpppi2,1重复根一对共轭ki2,12项kcos)[(121xxCxCCekkx]sin)(121xxDxDDkk特征根通解中的对应项例1.求解方程y–2y'–3y=0解：特征方程r2–2r–3=0,得特征根r1=–1,r2=3xxCCy321ee(r+1)(r–3)=0解：特征方程,025102rr0)5(2r得r1=r2=5)(e215xCCyx例2.025'10''yyy求解方程例3.05'2''yyy求解方程解：0522rr得ir212,1)2sin2cos(e21xCxCyx例4.求解方程y(4)+5y'''+9y''+7y'+2y=0解：特征方程r4+5r3+9r2+7r+2=0可求得r1=2,r2=r3=r4=1则y1=e2x,y2=ex,y3=xex,y4=x2ex)(243221xCxCCeeCyxx定理1当二阶常系数非齐线性方程)2()(xfyqypy)()(时，的右端为xPexfnx它有下列形式的特解：)(*，xQexynxk其中：0；＝不是特征根时，取当k1；＝是单特征根时，取当k2。＝是二重特征根时，取当k:。可以为复数注意例1..)54(e232的一个特解求方程xyyyx解：α=2，P1(x)=4x+5特征方程：r2－3r＋2＝0得r1=2,r2=1所以设y*=xe2x(Ax+B)y*=2Ax2e2x+2(A+B)xe2x+Be2xy*=4Ax2e2x+4(2A+B)xe2x+2(A+2B)e2x代入方程化简得2Ax+(2A+B)=4x+5比较得2A=4,2A+B=51,2BAxxxy22e)2(*例2.解：α=0,P2(x)=2x2－3特征方程r2+1=0,得r1,2=i所以设y*=Ax2+Bx+C代入方程得Ax2+Bx+(2A+C)=2x23比较得A=2,B=0,2A+C=372*2xy有A=2,B=0,C=7的一个特解。求方程322xyy例3.α=1,P0(x)=1解：特征方程r2－2r＋1＝0,r1,2＝1故设y*=x2Aex求得,21Axxye21*2求方程y－2y＋y=ex的一个特解.不是特征根i,0次多项式。次和分别是，是常数，，这里nlxQxPxxQxxPxfnlnlx)()(,sin)(cos)(e)()II(.max)()(]sin)(cos)([e*nlmmxBxAxxBxxAxymmmmxk，次待定多项式，是，的特解：此时方程具有如下形式其中k＝是特征根i,1例6.解：ii2,2,0特征方程r2+4=0,得r1,2=2i)2sin2cos(*xBxAxy故设41,0BA解得xxy2sin41*求y+4y=cos2x的一个特解例7.解：ii1,1,1特征方程r2+1=0,得r1,2=i)sincos(e*xBxAyx故设51,52BA解得)cos52sin51(e*xxyx故求y+y=exsinx的一个特解.例8.xyyyxsine2652求解方程解：特征方程r2–5r＋6＝0得r1=2,r2=3xxCCy3221ee~(2)再求y*：xyyy2e265.sin65xyyy.sine2)(2xxfx有(1)(2)(1)先求y：求方程(1)的y1*:设y1*=Axe2x代入方程(1)得A＝–2xxy21e2*xyyy2e265(1)r1=2,r2=3r2–5r＋6＝0,求方程(2)的y2*:xBxAysincos*2设代入方程(2)得101BA)sin(cos101*2xxy***21yyy)sin(cos10122xxxex)sin(cos101e2ee*~23221xxxCCyyyxxx.sin65xyyy(2)r2–5r＋6＝0,r1=2,r2=3