第七节(2)二阶常系数非齐次线性微分方程

)(xfyqypy),(为常数qp根据解的结构定理,其通解为Yy*y非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法第七节(2)二阶常系数非齐次线性微分方程)([exQx)()2(xQp])()(2xQqp)(exPmxI.型)(e)(xPxfmx为实数,)(xPm设特解为,)(e*xQyx其中为待定多项式,)(xQ])()([e*xQxQyx])()(2)([e*2xQxQxQyx代入原方程,得为m次多项式.)(xfyqypy(1)若不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为.)(e*xQymxQ(x)为m次待定系数多项式(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为(3)若是特征方程的重根,,02p)(xQ则是m次多项式,故特解形式为xmxQxye)(*2小结对方程①,)2,1,0(e)(*kxQxyxmk此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.)(xQ)(xPm)()(2xQqp即即当是特征方程的k重根时,可设特解xmxxQye)(*.232的通解求方程xxeyyy解对应齐次方程通解特征方程,0232rr特征根，，2121rr,221xxeCeCY是单根，2,)()(22xxexQeBAxxy设代入方程,得,1,21BAxexxy2)121(于是原方程通解为.)121(2221xxxexxeCeCy例1,)2(12xBAxA.)1(442的通解求方程xexyyy解对应齐次方程通解特征方程,0442rr特征根，221rr,)(221xexCCY是重根，2,)()(222xxexQeBAxxy设126xBAxxexxy22)2161(于是原方程通解为.)2161()(22221xxexxexCCy例2),()(xPxQm.21,61BA代入方程,得,)1(442xexyyy原方程通解为.)2161()(22221xxexxeCxCy法二,)1()2(2)2(2xexyyyy,1)2(2)2(22xyyeyyexx,1])2([2xyyex,21)2(122Cxxyyex,21)(122Cxxyex212322161CxCxxyex间．链条滑过钉子需多少时下垂１０米，试问整个边的一边下垂８米，另一上，运动开始时，链条一无摩擦的钉子一质量均匀的链条挂在解例3oxm8m10,,,米链条下滑了经过时间设链条的线密度为xt则由牛顿第二定律得,)8()10(1822gxgxdtxd.0)0(,0)0(,99xxgxgx即解此方程得,1)(21)(3131tgtgeetx,8,x即整个链条滑过钉子代入上式得)().809ln(3秒gt型]sin)(cos)([)(.xxPxxPexfⅡnlx]sincos[)(xPxPexfnlx]22[ieePeePexixinxixilxxinlxinleiPPeiPP)()()22()22(,)()()()(xixiexPexP,)()(xiexPqyypy设,)()(1ximkexQxy利用欧拉公式,)()(xiexPqyypy设,)()(2ximkexQxy][ximximxkeQeQexy],sin)(cos)([)2()1(xxRxxRexmmxk次多项式，是其中mxRxRmm)(),()2()1(nlm,max,10是单根不是根iik注意上述结论可推广到高阶常系数非齐次线性微分方程..sin4的通解求方程xyy解对应齐次方程通解,sincos21xCxCY,是单根i),sincos(*xBxAxy故代入原方程,得0,2BA所求非齐次方程特解为,cos2xxy原方程通解为.cos2sincos21xxxCxCy例4,012r特征方程ir2,1特征根法二对应齐次方程通解,sincos21xCxCY作辅助方程,4ixeyy,是单根i,)(*ixixexQAxey故,42Ai,2iA,)cos2(sin22*ixxxxixeyix所求非齐次方程特解为,cos2xxy原方程通解为.cos2sincos21xxxCxCy（取虚部）)()()2()(xPxQpxQm代入辅助方程,得.2cos的通解求方程xxyy解对应齐次方程通解,sincos21xCxCY作辅助方程,2ixxeyy,2不是特征方程的根i,)(2*ixeBAxy设代入辅助方程13034ABAi,9431iBA，,)9431(2*ixeixy例5)2sin2)(cos9431(xixix所求非齐方程特解为,2sin942cos31xxxy原方程通解为.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy,)2sin312cos94(2sin942cos31ixxxxxx（取实部）注意xAexAexxsin,cos.)(的实部和虚部分别是xiAe).2cos(214xxyy求解方程例6解特征方程,042r特征根,22,1ir对应的齐方的通解为.2sin2cos21xCxCY设原方程的特解为.*2*1*yyy,)1(*1baxy设,)(*1ay则,0)(*1y，得代入xyy214，xbax2144由，04b，214a解得，0b，81a;81*1xy),2sin2cos()2(*2xdxcxy设,2sin)2(2cos)2()(*2xcxdxdxcy则,2sin)44(2cos)44()(*2xdxcxcxdy，得代入xyy2cos214故原方程的通解为.2sin81812sin2cos21xxxxCxCy,2cos212sin42cos4xxcxd由，04c，214d即，81d，0c;2sin81*2xxy小结可以是复数）(),()()1(xPexfmx);(xQexymxk],sin)(cos)([)()2(xxPxxPexfnlx];sin)(cos)([)2()1(xxRxxRexymmxk(待定系数法)只含上式一项解法：作辅助方程,求特解,取特解的实部或虚部,得原非齐方程特解.补充题:1.写出微分方程xexyyy228644的待定特解的形式.解:设的特解为2644xyyy*1yxeyyy2844设的特解为*2y*2y*1*yy则所求特解为0442rr特征根22,1rCBxAxy2*1xeDxy22*2（重根）*2y*1*yyCBxAx2.22xeDx2.解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根xxyyxsin3e)2()4(利用叠加原理,可设非齐次方程特解为)sincos(xkxdx写出下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:3.求微分方程xyyye44的通解(其中为实数).解:特征方程,0442rr特征根:221rr对应齐次方程通解:2时,,exAy令代入原方程得,2)2(1A故原方程通解为2时,,e2xxBy令代入原方程得,21B故原方程通解为4.已知二阶常微分方程xcybyaye有特解2(1e),exxyx求微分方程的通解.解:将特解代入方程得恒等式xxxxcxbaabaee)1(e)2(e)1(比较系数得01baca201ba0a1b2c故原方程为对应齐次方程通解:xxCCYee21xxxyee原方程通解为xxCCyee21xxe5.有特解而对应齐次方程有解微分方程的通解.解:,0)(2yxyxy代入将代入再将xy1)(1xfyxy故所给二阶非齐次方程为331xyxy方程化为设二阶非齐次方程一阶线性非齐次方程故xxd1exCx121再积分得通解2211CxCxy)(1211CC1d13de3Cxxxx的解.6.设函数内具有连续二阶导数,(1)试将x＝x(y)所满足的微分方程变换为y＝y(x)所满足的微分方程;(2)求变换后的微分方程满足初始条件0)dd)(sin(dd322yxxyyx且解:上式两端对x求导,得(1)由反函数的导数公式知0)(dddd222yyxyxy222)(ddddyyxyyx3)(yy代入原微分方程得xyysin①(2)方程①的对应齐次方程的通解为xxCCYee21设①的特解为,sincosxBxAy代入①得A＝0,,21B,sin21xy故从而得①的通解:xCCyxxsin21ee21由初始条件,23)0(,0)0(yy得1,121CC故所求初值问题的解为xyxxsin21ee7.且满足方程xttftxxxf0d)()(sin)(.)(xf求解:,d)(d)(sin)(00xxttftttfxxxf则xxfcos)()(sin)(xfxxfxttf0d)()(xfx)(xfx问题化为解初值问题:xxfxfsin)()(,0)0(f1)0(f最后求得8:设0()e()d,(0)0,xxxxxuu解:,uxt令则有解初值问题:得:一、求下列微分方程的通解:1、xeyay2；2、xxeyyy323；3、xxyycos4；4、xyy2sin.二、求下列各微分方程满足已给初始条件的特解:1、0,1,5400xxyyyy；2、xxexeyyy2,1,111xxyy；3、)2cos(214xxyy,0,000xxyy.练习题三、含源在CLR,,串联电路中,电动E势为的电源对电充电容器C.已20E知伏,微法2.0C,亨1.0L,欧1000R,试求合上开后关K的电及流)(ti)(tuc电压.四、设)(x函数连续,且满足xxxdttxdtttex00)()()(,)(x求.练习题答案一、1、2211sincosaeaxCaxCyx；2、)323(2221xxeeCeCyxxx；3、xxxxCxCysin92cos312sin2cos21；4、212cos10121xeCeCyxx.二、1、xeyx45)511(1614；2、xxxexexexeey26])121(612[23；3、)2sin1(812sin161xxxy.三、)105sin(104)(310523tetit(安),]105sin()105[cos(2020)(331053ttetutc(伏).四、)sin(cos21)(xexxx.