线性变换及其矩阵

显然，线性映射就是保持线性运算的映射，线性变换是线性空间到自身的线性映射．定义设V，W是数域P上的两个线性空间，T是V到W的一个映射，如果满足：（1)对于任意V,，)()()(TTT，（2)对于任意V，Pk，)()(kTkT，则称T是V到W的线性映射，或线性算子．当WV时，称T为V上的线性变换．1.3线性变换及其矩阵1.3.1线性变换的概念例1平面直角坐标系绕坐标原点旋转角的变换就是欧氏空间2R的一个线性变换．对任意Txxx),(212R，则这个线性变换T是xxTcossinsincos)(．例2定义在区间],[ba上的所有连续实函数的集合],[baC是实数域上的一个线性空间，在],[baC上定义变换T：dttfxfTxa)())((，],[)(baCxf，则T是],[baC上的一个线性变换．例3在线性空间nxP][中，微商运算D定义为)())((xfxfD，则D是一个线性变换．定义设T是数域P上的线性空间V的一个线性变换，（1）如果对任意V，恒有0)(T，则称T为零变换，记为0；（2）如果对任意V，恒有)(T，则称T为恒等变换，记为I；（3）如果对任意V，Pk，恒有kT)(，则称T为数乘变换.性质10)0(T，)()(TT，即线性变换将零元素变为零元素，而负元素的像为像的负元素．注意性质3的逆命题不成立，即线性变换可能将线性无关向量组变成线性相关向量组．例如，零变换把任何线性无关向量组都变成线性相关向量组．性质2若mmkkk2211，则)()()()(2211mmTkTkTkT即线性变换T保持向量的线性组合．性质3若m,,,21线性相关，则)(,),(),(21mTTT也线性相关．)(VL表示数域P上线性空间V上的一切线性变换的集合．1.3.2线性变换的运算定义设V是数域P上的线性空间，)(VLTi（2,1i），（1）如果对每个V，恒有)()(21TT，则称1T与2T相等，记为21TT（2）对每个V，满足)()()(21TTT的变换T称为线性变换1T与2T的和，记为21TTT（3）对每个V，满足))(()(21TTT的变换T称为线性变换1T与2T的乘积，记为21TTT（4）对每个V，Pk满足)()(1kTT的变换T称为数k与线性变换1T的数量乘积，记为1kTT．1)1(T简记为1T可以证明：21TT，21TT，1kT都是线性变换，并且满足下面运算规律（设Plk,，VTTi,)3,2,1(i）：（1）V中线性变换的加法满足交换律与结合律，即21TT12TT，)()(321321TTTTTT．（2）V中线性变换的乘法满足结合律，即)()(321321TTTTTT．（3）V中线性变换的乘法对加法满足分配律，即3121321)(TTTTTTT，3231321)(TTTTTTT．（4）设0表示V中的零变换，则T+0=T，0)(TT．（5）V中线性变换的数乘运算满足：)()(lTkTkl，lTkTTlk)(，2121)(kTkTTTk．定义设V是数域P上的线性空间，)(VLT，（1）如果存在)(VLS，使得ISTTS，则称S为T的逆变换，记为1T．特别地，若线性变换T是可逆的，则1T也是线性变换．（3）设][xP为数域P上多项式全体构成的线性空间，且][)(011xPaxaxaxfmmmm，则称IaTaTaTfmmmm011)(为线性变换T的多项式．可以证明)(Tf也是V的一个线性变换．（2）n（n为正整数）个线性变换T的乘积TTTTn称为T的n次幂．特别地，当0n时，令IT0．当T可逆时，定义T的负n（n为正整数）次幂为nnTT)(1这些运算具有下列性质：（1）nmnmTTT，mnnmTT)(，（nm,为非负整数）．当T可逆时，nm,可为负整数．（2）设][)(),(xPxgxf，如果)()()(xgxfxh，)()()(xgxfxt，则)()()(TgTfTh，)()()(TgTfTt．注1线性变换的乘法一般是不可交换的，即STTS，因此一般地有nnnSTTS)(．定理设V是数域P上的n维线性空间，n,,,21是V的一个基，又n,,,21是V中的任意n个向量，则存在唯一的一个线性变换T，使得11)(T，22)(T，nnT)(,证明先证存在性．任取V，且niiik1．定义V的一个变换T：niiikT1)(容易证明T是V上的线性变换．取i),,2,1(ni时，得11)(T，22)(T，nnT)(,1.3.3线性变换的矩阵再证唯一性．若除了满足条件的线性变换T外，还有线性变换S也满足条件，即11)(S，22)(S，nnS)(,现任取V，且niiik1．则有niiiniiikTkT11)()(与niiiniiikSkS11)()(，即对任意V，都有)()(ST，所以ST该定理的唯一性说明，一个线性变换完全被它在一个基上的作用（基的像）所决定．定义设V是数域P上的n维线性空间，T是V上的一个线性变换，取V中的一个基n,,,21，且基向量的像)(iT),,2,1(ni可以由这个基线性表示为nnnnnnnnnnaaaTaaaTaaaT22112222112212211111)()()(其中nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211称A为线性变换T在基n,,,21下的矩阵．写成矩阵形式为))(,),(),((),,,(2121nnTTTTAn),,,(21定理设V是数域P上的n维线性空间，n,,,21为V中一个基，线性变换21,TT在基n,,,21下的矩阵为BA,，则（1）21TT在基n,,,21下的矩阵为BA；（2）21TT在基n,,,21下的矩阵为AB；（3）对于Pk，1kT在基n,,,21下的矩阵为kA；（4）若1T可逆，则11T在基n,,,21下的矩阵为1A．定理在线性空间V中，设线性变换T在基n,,,21下的矩阵为A，设向量在基n,,,21下的坐标为Tnxxxx),,,(21，则)(T在该基n,,,21下的坐标Tnyyyy),,,(21满足Axy．定理在线性空间V中，设基n,,,21到基n,,,21的过渡矩阵为C，设V中线性变换T在这两个基下的矩阵分别为BA,，则ACCB1．该定理说明，线性空间V中的线性变换T在两个不同基下的矩阵是相似的．反过来也可以证明，两个相似矩阵总可以看成某一线性变换在两个不同基下的矩阵．推论在线性空间V中，存在某个基使线性变换T在该基下的矩阵是对角阵的充要条件是矩阵A可对角化，其中A为T在任一个基下的矩阵．例4设三维线性空间3R中的两个基)0,0,1(1，)0,1,0(2，)1,0,0(3与)1,1,1(1，)1,0,1(2，)1,1,0(3，（1）已知),,2(),,(13221321xxxxxxxxT，求线性变换T在基321,,下的矩阵；（2）已知线性变换T在基321,,下的矩阵为121011101求T在基321,,下的矩阵.解（1）由于),,2(),,(13221321xxxxxxxxT，所以，)1,0,2()(1T312，)0,1,1()(2T21，)0,1,0()(3T2．故T在基321,,下的矩阵为001110012（2）因为T在基321,,下的矩阵为121011101B又基321,,到基321,,的过渡矩阵111101011C1011101111C由定理知T在基321,,下的矩阵A满足ACCB1，所以1CBCA203022211