【备战高考】2019年高考数学一轮复习第6章第3节《等比数列及其前n项和》

备战高考2019年高考数学一轮复习第6章数列第3节等比数列及其前n项和考试要求：1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．3.了解等比数列与指数函数的关系.知识梳理，自主学习一、基础知识梳理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：anan－1＝q(n≥2，q为非零常数).(2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G＝±ab.2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；通项公式的推广：an＝amqn－m.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q.3.等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.二、双基自测训练1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(×)(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.(×)(3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(×)(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列．(×)(5)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝a1－an1－a.(×)(6)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(×)2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比q＝______.答案12解析由题意知q3＝a5a2＝18，∴q＝12.3．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．答案27,81解析设该数列的公比为q，由题意知，243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.4．若1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则a1－a2b2的值为________．答案－12解析∵1，a1，a2,4成等差数列，★★★知识拓展提升★★★1.若数列{an}为等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a2n}，1an也是等比数列.2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.∴3(a2－a1)＝4－1，∴a2－a1＝1.又∵1，b1，b2，b3,4成等比数列，设其公比为q，则b22＝1×4＝4，且b2＝1×q20，∴b2＝2，∴a1－a2b2＝－a2－a1b2＝－12.5．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2＝________.答案－11解析设等比数列{an}的公比为q，∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q4＝0.∴q3＋8＝0，∴q＝－2，∴S5S2＝a11－q51－q·1－qa11－q2＝1－q51－q2＝1－－251－4＝－11.6．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________分钟，该病毒占据内存64MB(1MB＝210KB)．答案48解析由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an}，且a1＝2，q＝2，∴an＝2n，则2n＝64×210＝216，∴n＝16.即病毒共复制了16次．∴所需时间为16×3＝48(分钟).考点突破，深度剖析考点一等比数列基本量的运算【例1】(1)(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________.(2)(2017·江苏卷)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝74，S6＝634，则a8＝________.解析(1)由{an}为等比数列，设公比为q.由a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，得a1＋a1q＝－1，①a1－a1q2＝－3，②显然q≠1，a1≠0，②①得1－q＝3，即q＝－2，代入①式可得a1＝1，所以a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.(2)设数列{an}首项为a1，公比为q(q≠1)，则S3＝a1（1－q3）1－q＝74，S6＝a1（1－q6）1－q＝634，解得a1＝14，q＝2，所以a8＝a1q7＝14×27＝32.答案(1)－8(2)32【训练1】(1)(2018·武昌调研)设公比为q(q0)的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1＝()A.－2B.－1C.12D.23(2)(2016·全国Ⅰ卷)设等比数列满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________.解析(1)由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2得a3＋a4＝3a4－3a2，即q＋q2＝3q2－3，解得q＝－1(舍)或q＝32，将q＝32代入S2＝3a2＋2，得a1＋32a1＝3×32a1＋2，解得a1＝－1，故选B.规律方法1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q.(2)设等比数列{an}的公比为q，∴a1＋a3＝10，a2＋a4＝5⇒a1＋a1q2＝10，a1q＋a1q3＝5，解得a1＝8，q＝12，∴a1a2…an＝an1q1＋2＋…＋(n－1)＝2－n22＋7n2.记t＝－n22＋7n2＝－12(n2－7n)，结合n∈N*，可知n＝3或4时，t有最大值6.又y＝2t为增函数.所以a1a2…an的最大值为64.答案(1)B(2)64考点二等比数列的性质及应用【例2】(1)(必修5P68BT1(1))等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝()A.12B.10C.8D.2＋log35(2)(2018·云南11校调研)已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12＝()A.40B.60C.32D.50解析(1)由等比数列的性质知a5a6＝a4a7，又a5a6＋a4a7＝18，所以a5a6＝9，则原式＝log3(a1a2…a10)＝log3(a5a6)5＝10.(2)数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4，8，S9－S6，S12－S9是首项为4，公比为2的等比数列，则S9－S6＝a7＋a8＋a9＝16，S12－S9＝a10＋a11＋a12＝32，因此S12＝4＋8＋16＋32＝60.答案(1)B(2)B【训练2】(1)(2018·西安八校联考)已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数规律方法1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度.2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.列，若a1·a6·a11＝－33，b1＋b6＋b11＝7π，则tanb3＋b91－a4·a8的值是()A.－3B.－1C.－33D.3(2)(一题多解)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6S3＝3，则S9S6＝________.解析(1)依题意得，a36＝(－3)3，a6＝－3，3b6＝7π，b6＝7π3，b3＋b91－a4·a8＝2b61－a26＝－7π3，故tanb3＋b91－a4·a8＝tan－7π3＝－tanπ3＝－3.(2)法一由等比数列的性质S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，由已知得S6＝3S3，∴S6－S3S3＝S9－S6S6－S3，即S9－S6＝4S3，S9＝7S3，∴S9S6＝73.法二因为{an}为等比数列，由S6S3＝3，设S6＝3a，S3＝a，所以S3，S6－S3，S9－S6为等比数列，即a，2a，S9－S6成等比数列，所以S9－S6＝4a，解得S9＝7a，所以S9S6＝7a3a＝73.答案(1)A(2)73考点三等比数列的判定与证明【例3】(2016·全国Ⅲ卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5＝3132，求λ.(1)证明由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝11－λ，a1≠0.由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan，由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以an＋1an＝λλ－1.因此{an}是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是an＝11－λλλ－1n－1.(2)解由(1)得Sn＝1－λλ－1n.由S5＝3132，得1－λλ－15＝3132，即λλ－15＝132.解得λ＝－1.【训练3】(2017·安徽江南十校联考)已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn－2an＝n－4.(1)证明：{Sn－n＋2}为等比数列；(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.(1)证明因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，所以Sn－2(Sn－Sn－1)＝n－4(n≥2)，则Sn＝2Sn－1－n＋4(n≥2)，所以Sn－n＋2＝2[Sn－1－(n－1)＋2](n≥2)，又由题意知a1－2a1＝－3，所以a1＝3，则S1－1＋2＝4，所以{Sn－n＋2}是首项为4，公比为2等比数列.(2)解由(1)知Sn－n＋2＝2n＋1，所以Sn＝2n＋1＋n－2，于是Tn＝(22＋23＋…＋2n＋1)＋(1＋2＋…＋n)－2n＝4（1－2n）1－2＋n（n＋1）2－2n＝2n＋3＋n2－3n－82.思想方法分类讨论思想在等比数列中的应用典例(12分)已知首项为32的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差数列．规律方法证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：Sn＋1Sn≤136(n∈N*)．思想方法指导(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明．规范解答(1)解设等比数列{an}的公比为q，因为－2S2，S3,4S4成等差数列，所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，可得2a4＝－a3，于是q＝a4a3＝－12.[2分]又a1＝32，所以等比数列{an}的通项公式为an＝32×－12n－1＝(－1)n－1·32n(n∈N*)．[3分](2)证明由(1)知，Sn＝1－－12n，Sn＋1Sn＝1－－12n＋11－－12n＝2＋12n2n＋1，n为奇数，2＋12n2n－1，n为偶数.[6分]当n为奇数时，Sn＋1Sn随n的增大而减小，所以Sn＋1