极坐标与参数方程讲义(教师版)

极坐标与参数方程一、极坐标知识点1.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为.有序数对(,)叫做点M的极坐标,记作(,)M.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,可取任意实数.特别地,当点M在极点时,它的极坐标为(0,)(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示;同时,极坐标(,)表示的点也是唯一确定的.2.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)xy,极坐标是(,)(0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)xy极坐标(,)互化公式cossinxy222tan(0)xyyxx在一般情况下,由tan确定角时,可根据点M所在的象限最小正角.3.常见圆与直线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r的圆(02)r圆心为(,0)r,半径为r的圆2cos()22r圆心为(,)2r,半径为r的圆）（0sin2r过极点,倾斜角为的直线(1)()()RR或(2)(0)(0)和过点(,0)a,与极轴垂直的直线cos()22a过点(,)2a,与极轴平行的直线sin(0)a注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,点(,)44M可以表示为5(,2)(,2),444444或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44的极坐标满足方程.二、考点阐述考点1、极坐标与直角坐标互化例题1、在极坐标中，求两点)4,2(),4,2(QP之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程。解：两点的直角坐标为),2,2(),2,2(QP它们之间的距离22PQ.由于直线PQ垂直于极轴，且距离极点2，所以直线的极坐标方程为2cos练习1.1、已知曲线12CC，的极坐标方程分别为cos3，π4cos002，≥≤，求曲线1C与2C交点的极坐标．解：我们通过联立解方程组cos3(0,0)4cos2解得236,即两曲线的交点为(23,)6。1．2.已知圆C：22(1)(3)1xy，则圆心C的极坐标为_______(0,02)答案：（2(2,)3）练习1.3已知点c极坐标为(2,)3，求出以C为圆心，半径r=2的圆的极坐标方程（写出解题过程）；解：1MM（）如图所示，设为圆上一点，(,),2MOC44cos()4333则或，由余弦定理得4cos()3极坐标方程为=。考点2、极坐标与直角坐标方程互化例题2、已知曲线C的极坐标方程是4sin．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是22(242xttyt为参数），点P是曲线C上的动点，点Q是直线l上的动点，求|PQ|的最小值．解：曲线C的极坐标方程4sin可化为24sin,其直角坐标方程为2240xyy，即22(2)4xy.……………（3分）直线l的方程为40xy.所以圆心到直线l的距离24322d…（6分）所以，PQ的最小值为322.…………………………（10分）练习2.1、设过原点O的直线与圆C：22(1)1xy的一个交点为P，点M为线段OP的中点。(1)求圆C的极坐标方程；(2)求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．解：圆22(1)1xy的极坐标方程为2cos……4分设点P的极坐标为11(,)，点M的极坐标为(,)，∵点M为线段OP的中点，∴12，1……7分将12，1代入圆的极坐标方程，得cos∴点M轨迹的极坐标方程为cos，它表示圆心在点1(,0)2，半径为12的圆．……10分练习2.2（2015Ⅰ理数）(23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中.直线1C:x＝－2，圆2C：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I）求1C，2C的极坐标方程；（II）若直线3C的极坐标方程为4R，设2C与3C的交点为M，N，求△C2MN的面积（23）解：（I）因为cosx，siny，所以1C的极坐标方程为cos2，2C的极坐标方程为22cos4sin40。……5分（II）将4代入22cos4sin40，得23240，解得122，22。故122，即2MN。由于2C的半径为1，所以2CMN的面积为12。……10分二、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,xy都是某个变数t的函数()()xftygt①,并且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)Mxy都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,xy的变数t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,xy中的一个与参数t的关系,例如()xft,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()ygt,那么()()xftygt就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,xy的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。3．圆的参数如图所示，设圆O的半径为r，点M从初始位置0M出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，设(,)Mxy，则cos()sinxryr为参数。这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程，其中的几何意义是0OM转过的角度。圆心为(,)ab，半径为r的圆的普通方程是222()()xaybr，它的参数方程为：cos()sinxarybr为参数。4．椭圆的参数方程以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为22221(0),xyabab其参数方程为cos()sinxayb为参数，其中参数称为离心角；焦点在y轴上的椭圆的标准方程是22221(0),yxabab其参数方程为cos(),sinxbya为参数其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，2）。注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当02时，相应地也有02，在其他象限内类似。5．双曲线的参数方程（了解）以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的双曲线的标准议程为22221(0,0),xyabab其参数方程为sec()tanxayb为参数，其中3[0,2),.22且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是22221(0,0),yxabab其参数方程为cot((0,2).cscxbeya为参数，其中且以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。6．抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线22(0)ypxp的参数方程为22().2xpttypt为参数7．直线的参数方程经过点000(,)Mxy，倾斜角为()2的直线l的普通方程是00tan(),yyxx而过000(,)Mxy，倾斜角为的直线l的参数方程为00cossinxxtyyt()t为参数。注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点000(,)Mxy，倾斜角为的直线l的参数方程为00cossinxxtyyt()t为参数，其中t表示直线l上以定点0M为起点，任一点(,)Mxy为终点的有向线段0MM的数量，当点M在0M上方时，t＞0；当点M在0M下方时，t＜0；当点M与0M重合时，t=0。我们也可以把参数t理解为以0M为原点，直线l向上的方向为正方向的数轴上的点M的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。考点3、参数方程与直角坐标方程互化例题3：已知曲线1C的参数方程为sin10cos102yx（为参数），曲线2C的极坐标方程为sin6cos2．（1）将曲线1C的参数方程化为普通方程，将曲线2C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）曲线1C，2C是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．解：（1）由sin10cos102yx得10)2(22yx∴曲线1C的普通方程为10)2(22yx∵sin6cos2∴sin6cos22∵sin,cos,222yxyx∴yxyx6222，即10)3()1(22yx∴曲线2C的直角坐标方程为10)3()1(22yx……………（５分）（2）∵圆1C的圆心为)0,2(，圆2C的圆心为)3,1(∴10223)30()12(C2221C∴两圆相交设相交弦长为d，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段21CC∴222)10()223()2(d∴22d∴公共弦长为22………（10分）练习3.1（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程.已知曲线C：(sin21cos23yx为参数，0≤2π)，（Ⅰ）将曲线化为普通方程；（Ⅱ）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程．（Ⅰ）023222yxyx…5分（Ⅱ）sincos32…10分练习3.2已知曲线C1：cos()sinxy为参数，曲线C2：222()22xttyt为参数。（1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线1'C，2'C。写出1'C，2'C的参数方程。1'C与2'C公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由。练习3.3(2014II)（23）(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极