33.1.2共线向量与共面向量

共线向量与共面向量复习回顾:一、共线向量：（与平面向量中完全相同）1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线（基线）互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作//ab．规定:o与任一向量a是共线向量.2.共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数，使ab.复习回顾:1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作//ab．规定:o与任一向量a是共线向量.2.共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在惟一实数，使ab.二.共面向量:1、共面向量:平行于同一平面的向量，叫共面向量即能平移到同一平面内的向量,叫做共面向量.OAa注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。如果向量a的基线OA与平面平行或在内,称向量a平行,记作a//平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使12ee，a12，1122aeeabBPCA思考1：空间任意向量与两个不共线的向量共面时，它们之间存在怎样的关系呢？pab，ab2.共面向量定理:如果两个向量ab、不共线,则向量p与向量ab、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(,)xy使pxayb.AabBCPp例如图，已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O引向量,,,,求证：⑴四点E、F、G、H共面；OEkOAOFkOBOGkOCOHkOD例已知ABCD从平面AC外一点O引向量A,,,OEkOAOFkOBOGkOCOHkOD求证：①四点E、F、G、H共面；BCDOEFGH证明：∵四边形ABCD为①∴ACABAD（﹡）EGOGOEkOCkOA()kOCOAkAC（﹡）代入()kABAD()kOBOAODOAOFOEOHOE所以E、F、G、H共面。EFEH类比平面向量的基本定理,在空间中应有一个什么结论?NOCM1e2eaOCOMON1122tete平面向量的基本定理:如果12,ee是平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量a,存在唯一的一对实数12,tt使1122atete.对向量a进行分解,2e1ea类似地,有空间向量基本定理:cabpAO然后证唯一性//,//,//ABbBDaBCc作pOBBAOCODOEDCBxaybzc证明思路：先证存在性E如果三个向量abc、、不共面,那么对于空间任一向量p,存在唯一的有序实数组,,xyz使pxaybzc.对向量p进行分解,注：空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底.如：,,abc几个定义：线性相关；线性无关；线性表示；线性组合例1平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND,设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示MN.分析:要用a,b,c表示MN,只要结合图形,充分运用空间向量加法和数乘的运算律即可.ABCDA1B1D1C1MN解:ABCDA1B1D1C1MN连AN,则MN=MA+ANMA=－AC=－(a+b)1313AN=AD+DN=AD－ND=（2b+c)13=（－a+b+c)13∴MN=MA+AN例1平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND,设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示MN.练习:已知空间四边形OABC，对角线OB、AC，M和N分别是OA、BC的中点，点G在MN上，且使MG=2GN，试用基底表示向量,,OAOBOCOGCOABMNG解：在△OMG中，OGOMMG1223OAMN12()23OAONOM111633OAOBOC练习.空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,则MN=().OABCMN(A)a－b+c122312(B)－a+b+c122312(C)a+b－c122312(D)a+b－c122323试证明:对于不共线的三点ABC、、和平面ABC外的一点O,空间一点P满足关系式OPxOAyOBzOC,则点P在平面ABC内的充要条件是1xyz.证明:⑴充分性∵OPxOAyOBzOC可变形为(1)OPyzOAyOBzOC,∴()()OPOAyOBOAzOCOA∴APyABzAC∴点P与ABC、、共面.试证明:对于不共线的三点ABC、、和平面ABC外的一点O,空间一点P满足关系式OPxOAyOBzOC,则点P在平面ABC内的充要条件是1xyz.⑵必要性得证.证明:⑴充分性∵OPxOAyOBzOC可变形为(1)OPyzOAyOBzOC,∴()()OPOAyOBOAzOCOA∴APyABzAC∴点P与ABC、、共面.∴存在有序实数对(,)mn使APmABnAC∴()()OPOAmOBOAnOCOA∴(1)OPmnOAmOBnOC又∵点O在平面ABC外,∴OAOBOC、、不共面,∵OPxOAyOBzOC.∴1,,xmnymzn,∴1xyz为什么?∵点P在平面ABC内,不共线的三点ABC、、练习：已知A、B、M三点不共线，对于平面ABM外的任一点O，确定在下列各条件下，点P是否与A、B、M一定共面？(1)3OBOMOPOA＋－(2)4OPOAOBOM1.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，,则x的值为()1()1()0()3()3ABCDOMxOAOBOC11＋＋33课外补充练习:D课外补充练习:2.下列说明正确的是：(A)在平面内共线的向量在空间不一定共线(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线(D)在空间共线的向量在平面内一定共线3.下列说法正确的是：(A)平面内的任意两个向量都共线(B)空间的任意三个向量都不共面(C)空间的任意两个向量都共面(D)空间的任意三个向量都共面DC4.对于空间中的三个向量它们一定是：A.共面向量B.共线向量C.不共面向量D.既不共线又不共面向量2MAMBMAMB、、－三、课堂小结：1.共线向量的概念。2.共线向量定理。3.共面向量的概念。4.共面向量定理。