附录A平面图形的几何性质

12第一节静面矩和形心第二节惯性矩、惯性积第三节惯性矩、惯性积的平移轴公式第四节转轴公式平面图形几何性质小结附录A平面图形的几何性质3第一节静面矩和形心一、简单图形的静面矩1、定义：dA对y轴的微静面矩:AyAzzdASydASyzdAyzo2、量纲：［长度］3；单位：m3、cm3、mm3。3、静面矩是对轴而言。dA对z轴的微静面矩:ydAdSzzdAdSy4zy4、静面矩的值可以是正值、负值、或零。5、静面矩的几个规律：zdAyzoyAzydASCZhaaybdyhaaby22)2(habh0AybhadyydzzAyzdASbzhdz0bhz0222bbh0Az举例说明：AzydASc22hahybdy2222hhby0⑴Sz=Ayc；Sy=Azc。可以作为公式使用。5⑵图形对过形心轴的静面矩为零，反之图形对某轴的静面矩为零，则此轴一定过图形的形心。⑶图形对对称轴的静面矩一定为零。二、简单图形的形心1、由静面矩的规律⑴可知形心坐标：AydAASyAzcAzdAASzAyczdA+(-zdA)=00)(21AAzdAzdAzydAdAz-zA1A2Sy=Sy右+Sy左=0⑴Sz=Ayc；Sy=Azc。可以作为公式使用。62、形心确定的规律：（1）、图形有对称轴时，形心必在此对称轴上。（2）、图形有两个对称轴时，形心必在此两对称轴的交点处。三、组合图形的静面矩：ciizizyASSciiyiyzASS四、组合图形的形心：izicASyiyicASz7212121AAAzAzAAzziic例试确定下图的形心。212211AAAyAyAAyyiic8010图（a）c(19.7;39.7)zyC1C2解：1、图形分割及坐标如图（a）5,45,700111yzA60,5,1200222yzA120120070012005700452、求形心)7.19mm)(7.3912007001200607005mm8图（b）212121AAAzAzAAzziic例试确定下图的形心。)(3.20108011010110035mm212211AAAyAyAAyyiicc(-20.3;34.7)解：1、图形分割及坐标如图（b）zyC2C1.0,0,800111yzA60,35,1100222yzA2、求形心)(7.34108011010110060mm9解：1）负面积法)(7.19117812)77(459640mm212112AAAzAzAAzziic212211AAAyAyAAyyiiczy60,40,9600111yzA65,45,11070222yzA2C2）求形心：)(7.397796)77(659660mm1C0C10例：如图所示，求绿色图形对Z、Y轴的静面矩及图形的形心。Y860140050161616Z（Y轴为对称轴）C1C2221121yAyASSSZ,0YS解：①②)(3.5101005.111004.121052.50556mmASyzcc0CZ700,0,1400860111yzA717,0),1334828(222yzA510]17.7)1105(71204[361052.50mm11第二节惯性矩、惯性积一、简单图形的惯性矩1、定义：dA对z轴的微惯性距:dA对y轴的微惯性距:2、量纲：m4、mm4。yzdAzyo,2AzdAyIAydAzI2dAydIz2dAzdIy23、惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）。4、惯性矩的取值恒为正值。5、极惯性矩：（对点而言）AodAI2pI222yz6、惯性矩与极惯性矩的关系：126、轴惯性矩与极惯性矩的关系：图形对任一相互垂直的坐标系的惯性矩之和恒等于此图形对该两轴交点的极惯性矩。ApdAI2AdAzy)(22AAdAzdAy22yzIIyzdAzyo13bhzccyc7、简单图形惯性矩的计算⑴圆形截面：实心（直径D）——空心（外径D，内径d）——4641DIIyz)(64144dDIIyz⑵矩形截面：32222121bhbdyydAyIhhAz32222121hbhdAzdAzIbbAybdyhdz3121bhIz3121hbIyzcycc14二、惯性半径：AIiAiIzzzz2AIiAiIyyyy2三、简单图形的惯性积1、定义：2、量纲：［长度］4。单位：m4、mm4。3、惯性积是对轴而言。AzyzydAI4、惯性积的取值为正值、负值、零。yzdAzyo5、规律：两坐标轴中，只要有一个轴为图形的对称轴，则图形对包含此对称轴的一对坐标轴的惯性积定为零。,15解：AaIdAyadAadAydAaydAyIzcAcAAcAcAz222222)(AbIdAzbdAbdAzdAbzdAzIycAcAAcAcAy222222)(yzyoyczcczcyc已知：A、Izc、Iyc、a、b、zc平行z；yc平行y。求：Iz、Iy。第三节惯性矩、惯性积的平移轴公式一、平移轴公式：AAcczydAbzayyzdAI))((abAIdAybdAzaabdAdAzyzcycAAccAAccdAyzab16二、组合图形的惯性矩、惯性积：zizIIyiyIIziyizyII注意：ZC、YC必须是形心坐标。a、b为图形形心在yoz坐标系的坐标值，有正负之分。abAIIAbIIAaIIzcyczyycyzcz22，，172008001001000例：如图所示，求图形对形心轴的惯性矩。解：1、取参考坐标轴Z；Y（对称轴)，确定形心坐标。ZY)(5731016101016400108504545212211mmAAAyAyAAyyiicZC1ZC2C2（0；400）C1（0；850）0CZ2、确定形心轴的惯性矩IZC、IY（IYC）21ycycyIIICzCy)(1087.820080012110001001214933mm18,21zczczcIII2008001001000ZYZC1ZC2C2（0；400）C1（0；850）CzCy9253211111079.7)573850(101001000121aAIIzczc,21111aAIIzczc9243222221032.13)400573(1016800200121aAIIzczc)(101.211032.131079.7499921mmIIIzczczc22222aAIIzczc19db2dZ（矩形的对称轴）Y（对称轴）O解：、建立坐标系如图。、求形心位置。、建立形心坐标系；求：Iyc，Izc。dddddAAyyAAAzziiciic177.043)4(200222zcycz1])5.0([212ydAIyAIIIIzzzczczc圆圆矩矩圆矩422422368501770504641770312251d.])d.d.(dd[)d.(d)d(d.例在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形对形心的惯性矩。（b=1.5d)20443513.064122)5.1(ddddIIIycycyc圆矩第四节转轴公式一、公式：已知：Iz、Iy、Izy、α。求：Iz1、Iy1、Iz1y1。解：zydAyzaaaaacossinsincos11yzyyzz21aaaaaaaaa2sinsincoscossin2sincos)sincos(2222222211zyyzAAAAAzIIIzydAdAzdAydAzydAyIaaaaaa2cos2sin22sin2cos222sin2cos221111zyyzyzzyyzyzyzyyzyzzIIIIIIIIIIIIIIIIyzyzIIII1122二、分析minmax1)(zI——010aaaddIzminmax1)(yI——010aaaddIy2200minmax)2(2zyyzyzyzIIIIIIIyzzyIIItg220a000yzI232、主惯性矩：图形对主轴的惯性矩。Iz0、Iy0为图形中惯性矩的最大和最小值。3、形心主惯性轴（形心主轴）：如果图形的两个主轴为图形的形心轴，则此两轴为形心主惯轴。（Izcyc=0。且zc、yc为形心轴。zc0、yc0为形心主轴）。4、形心主惯性矩：图形对形心主轴的惯性矩。（Izc0、Iyc0）。三、几个概念：1、主惯性轴（主轴）：如果图形对某一对坐标轴的惯性积为零，则此对轴为主惯性轴。（Iz0y0=0，z0、y0轴为主轴）。245、求截面形心主惯性矩的基本思路、建立坐标系。、求形心位置。、建立形心坐标系；求：Iyc，Izc，Izcyc，AAyASyAAzASziiziiyc、求形心主轴方向——a0yzzyIIItg220a、求形心主惯性矩2200minmax)2(2zyyzyzyczcIIIIIII±252008001001000例：如图所示，求图形对形心轴的惯性矩。解：1、取参考坐标轴Z；Y（对称轴），确定形心坐标。ZY)(5731016101016400108504545212211mmAAAyAyAAyyiicZC1ZC2C2（0；400）C1（0；850）0CZZC2、确定形心轴的惯性矩IZC、IY（IYC）)(1087.820080012110001001214933mmIIyyc26)(101.211032.131079.7)400573(1016800200121)573850(101001000121)()(49992432532222211121mmaAIaAIIIIzczczczczc此ZC、YC轴即为形心主轴，IZC、IYC即为形心主惯性矩27解：、建立坐标系如图。、求形心位置。、建立形心坐标系；求：Iyc，Izc。dddddAAyyAAAzziiciic177.0434200222])5.0([212ydAIyAIIIIzzzczczc圆圆矩矩圆矩422422368501770504641770312251d.])d.d.(dd[)d.(d)d(d.例在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形对形心的惯性矩。（b=1.5d)db2dZ（矩形的对称轴）Y（对称轴）Ozcycz128443513.064122)5.1(ddddIIIycycyc圆矩此ZC、YC轴即为形心主轴，IZC、IYC即为形心主惯性矩29)(5.1912007001200570045212121mmAAAzAzAAzziic例试确定下图的形心主惯性矩。)(7.3912007001200607005212211mmAAAyAyAAyyiic8010ZyC1(45;5)C2(5;60)解：1、图形分割及坐标如图2、确定形心坐标c(19.5;39.7)ZCYC30)()7.3960(1012012010121)57.39(1070107012142323