附录I 截面图形几何性质

湘潭大学土木工程与力学学院附录I平面图形的几何性质(geometricalpropertiesofanarea)湘潭大学土木工程与力学学院附1.1静矩和形心附1.2惯性矩惯性半径惯性积附1.3平行移轴公式附1.4转轴公式及主惯性轴湘潭大学土木工程与力学学院(StaticMoment&CentroidofArea)附1.1静矩和形心湘潭大学土木工程与力学学院AtAtyyAtAtzzAA)d(,)d(ccAAzzAAyyAAddcc，形心图附1图附1所示等厚度均质薄板，厚度为t,单位体积的重为，面积为A，则薄板重心的坐标yc和zc分别为oyycyzzczACAdB对均质薄板，其形心公式为湘潭大学土木工程与力学学院d,dyzAASzASyAASzASyyzcc,AzSAyScycz,oyycyzzczACAdB考虑形心公式，则上式可写为附1.2静矩或湘潭大学土木工程与力学学院定理：平面图形的对某一轴之矩若为零，则该轴为图形的形心轴；反之，亦然。湘潭大学土木工程与力学学院iicninyzASS1i1iyiicninzyASS1i1iz其中Syi是第i个简单图形对y轴的静矩，Ai是相应图形的面积，zci是图形形心的z向坐标。附1.3组合图形的静矩和形心组合图形对某个轴的静矩等于其各部分图形对该轴静矩的代数和，即若图形可以分解为n个规则图形的和，则湘潭大学土木工程与力学学院iniciniiniciniAzAzAyAyii11c11cΣΣΣΣ而组合图形的形心公式则为湘潭大学土木工程与力学学院hzhbzb)(()d()ddbhzAbzzzhb)(zboyzzzdh解：取微面积dA=b(z)dz，则例题试确定图示图形的静矩和形心C的位置。湘潭大学土木工程与力学学院2061d)(dbhzhzhbzAzhAyshbhbhASzy3121612c图形对y轴的静矩为形心坐标yc为b)(zboyzzzdh湘潭大学土木工程与力学学院求右图示组合图形的静矩。解：将原图在右端补满，其中内部兰色的矩形和外部黑色的矩形均为规则图形，要注意的是图形I事实上是不存在的，我们在这里使用负面积法。yz20202010010090IIIyz20202090100100湘潭大学土木工程与力学学院3III21i21iymm225000454000459000IIIccciyzAzAzASSii2IIIIII2IIImm4000mm45mm60mm9000mm45mm50AzyAzycccc3mm210000zS对图形I和图形II,有IIIyz20202090100100湘潭大学土木工程与力学学院附1.2惯性矩惯性半径惯性积Inertialmoment,inertialradius&Productofinertia湘潭大学土木工程与力学学院AzAyAyIAzId,d22分别称Iy、Iz为图形对y轴和z轴的惯性矩。惯性矩的量纲是[长度]4，惯性矩是恒正的量。定义yzyozAAd惯性矩的国际单位是m4，常用单位是cm4,mm4。湘潭大学土木工程与力学学院yzyozAAd惯性矩的大小不仅与图形面积有关，而且与图形面积相对于坐标轴的分布有关。面积离坐标轴越远，惯性矩越大；反之，面积离坐标轴越近，惯性矩越小。湘潭大学土木工程与力学学院22,zzyyiAIiAIAIiAIizzyy,iy和iz分别称为图形对于y轴和z轴的惯性半径。惯性半径为正值，它的大小反映了图形面积对坐标轴的聚集程度。惯性半径的量纲是长度，常用单位为mm或m。定义附1.2.2惯性半径(inertialradius)或湘潭大学土木工程与力学学院AIdA2pyzyozAAd附1.2.3极惯性矩(polarmomentofinertia)为图形对坐标原点o的极惯性矩。极惯性矩恒为正值，它的量纲为[长度]4，常用单位为m4和mm4。定义湘潭大学土木工程与力学学院222zyyzAAIIAzAyAIddd22A2pyzyozAAd由于则此式说明了极惯性矩与轴惯性矩之间的关系。湘潭大学土木工程与力学学院AyzAyzIdyzyozAAd为图形对y、z轴的惯性积。定义附1.2.4惯性积(productofinertia)惯性积的数值可正，可负，也可为零。惯性积的量纲是[长度]4，常用单位为m4和mm4。湘潭大学土木工程与力学学院定理：若有一个轴是图形的对称轴，则图形对这对轴的惯性积必然为零。0dAyzAyzIoyzAdAdzyy湘潭大学土木工程与力学学院1.均质矩形板质量为m，长度为l的均质杆，建立图示坐标系，则有附1.2.5常见图形的惯性矩、惯性积cyzczCAdzd2h2b2b2h1z2z12dd32222bhzbzAzIhhAyc湘潭大学土木工程与力学学院3dd302221hbyhyAyIIbAzz很容易得到下列结果cyzczCAdzd2h2b2b2h1z2z12dd32222hbyhyAyIbbAzc湘潭大学土木工程与力学学院32d2d4A2032pdAId圆形直径为d的圆形，选取图示圆环形积分微元，oyzDd64214pDIIIzy湘潭大学土木工程与力学学院444444322132)(323232d2DdDdDIDdP44p16421DIIIzy0yzIyzDd由于y轴为对称轴，故圆环形对y(或z)轴的惯性矩为圆环形湘潭大学土木工程与力学学院iyzniyzznizyniyIIIIIIii111Σ,Σ,Σ附1.2.6组合图形的惯性矩、惯性积Iyi为第i个图形对y轴的惯性矩，余类推。组合图形对某个坐标轴的惯性矩等于各简单图形对于同一坐标轴的惯性矩之和；组合图形对某对垂直坐标轴的惯性积，等于各简单图形对该对坐标轴惯性积之和，即湘潭大学土木工程与力学学院事实上，若y为过图形形心的轴，则有更一般地，即y为任意时，则有iciiiciycicyniyniySyyAyyIII)()(Σ211icyniyniyAyyIIIiici211)(Σ湘潭大学土木工程与力学学院例题求图示图形对y轴的惯性矩。解：将该组合图形视为由三个矩形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的组合。2byzbBoH2bIII2byzbIIIBoH2b湘潭大学土木工程与力学学院3I)(2121BhHIy3II)(2121BhHIy3III)(121bBhIy33IIIyIIyIy)(121)(2121bBhBhHIIIIyIII2byzbIIIBoH2b则每个矩形对y轴的惯性矩为从而整个图形对y轴的惯性矩为湘潭大学土木工程与力学学院附1.3平行移轴公式(parallelaxistheorem)湘潭大学土木工程与力学学院azzbyycc对于平面图形，建立坐标系Oyz和基于形心C的坐标系Cyczc，由定义AyIAzIAczAcyccd,d22oyzCAdbazcyczcyczy及坐标变换公式湘潭大学土木工程与力学学院ccyyAcAcAcAyaSAaIAzaAaAzAazAzI2d2ddd22222将图形对y轴的惯性矩用关于形心坐标系的坐标来表达oyzCAdbazcyczcyczy湘潭大学土木工程与力学学院AaIIcyy2AbIIczz2abAIIcczyyzoyzCAdbazcyczcyczy由于yc是过形心的轴，所以同理可得湘潭大学土木工程与力学学院小结移轴公式中的两根平行轴中必须至少有一根轴过形心；在所有平行的轴中，图形对过形心的轴的惯性矩最小。湘潭大学土木工程与力学学院mm3.1030212211cAAzAzAzycyzC1ay2a1403.1032020100IICICIII解：将图形看作是两个矩形的结合。形心坐标为例题试求图示图形对形心轴的惯性矩和惯性积。湘潭大学土木工程与力学学院III33442010014020121217610mmzzzIIIyzC1ay2a1403.1032020100IICICIII求图形对y、z轴的惯性矩4423mm1044320100)3.103150(1220100IyI湘潭大学土木工程与力学学院4423mm1076814020)703.103(1214020IIyI4444mm1012111076810443IIIyyyIII0yzIyzC1ay2a1403.1032020100IICICIII由于z轴是对称轴，故图形对两轴的惯性积为湘潭大学土木工程与力学学院附1.4转轴公式及主惯性轴transformationequationandprincipalcentroidalaxis湘潭大学土木工程与力学学院图形对某一对坐标轴y和z取得极值时，图形对该坐标轴的惯性积为零。y和z轴称作主惯性轴。图形对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。主惯性矩的值是图形对通过同一点的所有坐标轴的惯性矩的极值。若主惯性轴通过形心，则该轴称为形心主惯性轴。图形对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。基本概念湘潭大学土木工程与力学学院附1.4.1转轴公式平面任意图形及新旧坐标系统图示平面图形对任意一对新坐标轴y轴z轴的惯性矩和惯性积为：AyzIAyIAzId,d,dAyzA2zA2y若将坐标轴绕坐标原点旋转角(规定角逆时针旋转为正，顺时针旋转为负)。得到一对新坐标轴y1轴和z1轴。图形对y1轴z1轴的惯性矩和惯性积为：AzyIAyIAzIAAAd,d,d11zy21z21y1111湘潭大学土木工程与力学学院从图中任意一点取微面积dA，它在新旧坐标(y1,z1)和(y,z)有如下关系sincossincos11yzzzyy将此关系代入Iy1、Iz1和Iy1z1中，得2sinsincosdcossin2dsindcosd)sincos(dzyz2z2yAA22A222AA211IIIAyzAyAzAyzAIy湘潭大学土木工程与力学学院22cos1cos,22cos1sin22将代入上式得2sin2sin)(212sin2cos)(21)(212sin2cos)(21)(21yzzyzyyzzyzyzyzzyzyy1111IIIIIIIIIIIIIIII同理(a)湘潭大学土木工程与力学学院附1.4.2主惯性轴和主惯性矩(principalmomentofinertia)将式(a)对求导数，以确定惯性矩的极值2cos2sin)(212ddyzzyy1IIII令=0时02cos2sin)(212ddyzzyy1IIII湘潭大学土木工程与力学学院得zyyz022tanIII由上式可以解得相差90°的两个角度0和0+90°，从而确定了一对相互垂直的坐标轴y0轴z0轴。图形对这对轴的惯性矩一个取得最大值Imax，另一个取得最小值Imin，将0和0+90°分别代入式(a)第一式，经化简得惯性矩极值的计算公式：2yz2zyzymin2yz2zyzymax2212)(2100IIIIIIIIIIIIIIzy湘潭大学土木工程与力学学院将a0和a0+90°代入式(a)第三式，得惯性积Iy0z0＝0。因此图形对某一对坐标轴y0和z0取得极值时，图形对该坐标轴的惯性积为零。y0和