附录Ⅰ 平面图形的几何性质

附录Ⅰ平面图形的几何性质为什么要研究平面图形的几何性质？（1）工程中的各种构件，其横截面都是具有一定几何形状的平面图形，如（2）实际构件的承载能力与其变形形式有关，不同变形形式下的承载能力不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。如：直杆受拉（压）时，NFANFllEA圆轴扭转时，PTIPTlGI（3）反映截面图形的几何性质的量除面积A，极惯性矩IP外，还有静矩、惯性矩、惯性积、形心、惯性半径、惯性轴等。为进一步研究构件作其他变形时的承载能力，本章将逐步介绍后面几种截面图形的几何性质。第一节静矩和形心一、静矩yzOdAzy分别为图形对z轴和y轴的静矩。定义面积对某轴的一次矩。AzSAySAyAzd,d说明：1、静矩不仅与平面图形的形状尺寸有关，还与所选坐标的位置有关。2、静矩的数值可正可负，也可以为零。3、静矩的单位：mm3或m3二、形心形心与均质薄板的重心相同：AAzzAAyyACACd,dASzASyyCzc,即:从而：AzSAySCyCz,推论：1、若平面图形对某一坐标轴的静矩等于零，则该坐标轴必通过图形的形心。2、平面图形对通过其形心的坐标轴的静矩恒等于零，即：轴过形心==S该轴=0yzOdAzyyczcCdzzb(z)解：由于半圆图形关于z轴左右对称，因此z轴必通过其形心，即：cy0根据静矩的性质得：zS0取平行于y轴的狭长矩形，其微面积为d()dAbzz2其中：()bzRz22所以，dRzRzz2202ycRSRzAR32243132即形心位置为：(,)R403dyASzA()RRz3222023R323例半径为R的半圆图形如图所示，试计算其对y轴和z轴的静矩及形心的位置。RyzO例求图示阴影部分面积对y轴的静矩。yabh/2h/2CSbhaahay242bha2422解：AzSAySCyCz,三、组合图形的静矩和形心1、组合图形对某一轴的静矩等于组成它的各部分图形对同一轴静矩的代数和，即：niiiyniiizzASyAS11,其中：Ai，yi，zi分别代表第i个图形的面积和形心坐标，n为分割成的简单图形的个数。2、组合图形的形心坐标AzAASzAyAASyniiiycniiizc11,其中：yc、zc为组合图形的形心坐标，Sz、Sy为组合图形分别对z轴和y轴的静矩,A为组合图形的总面积,niiAA120140100例试确定图示T字形截面的形心位置。yzO20解：取图示参考系yoz，其中z轴为对称轴，则：cy0把T形截面分成两个矩形：和，则：①②①②11,Ammzmm220100200015022,Ammzmm220140280070.niiicAzzmmA12000150280070103320002800C第二节惯性矩、极惯性矩和惯性积yzOdAzy一、惯性矩定义图形面积对某轴的二次矩。（3）其大小不仅与平面图形的形状尺寸有关,而且还与平面图形面积相对于坐标轴的分布情况有关.平面图形的面积相对坐标轴越远,其惯性矩越大;反之,其惯性矩越小.（1）惯性矩的量纲为长度的四次方，单位用m4、cm4、mm4；（2）恒为正值；AzIAyIAyAzd,d22说明：其中iy、iz为平面图形对y轴和z轴的惯性半径（4）组合图形对某轴的惯性矩等于各组成图形对同一轴的惯性矩之和:（5）工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方的乘积,即22yyzzAiIAiI或AIiAIiyyzz,nnzziyyiiiIIII11AzIAyIAyAzd,d22说明：二、极惯性矩yzOdAzy（2）由于ρ2=y2+z2,所以有Ip=Iy+Iz,即平面图行对通过一点的任意一对正交坐标轴的惯性矩之和均相等,并且等于平面图形对坐标原点的极惯性矩。定义图形面积对某点的二次矩。（1）具有惯性矩的特点:恒为正；单位用m4、cm4、mm4等。AIApd2ρ说明：（3）惯性矩是针对某一坐标轴定义的，而极惯性矩是对某一点定义的。zdzyzObh例求图示矩形对于对称轴y、z的惯性矩。IzAyA2dzbzhh222//dbh312解：同理可得：zhbI312例求图示圆形对于对称轴y、z的惯性矩。dyzO解：Idp432IIyzIIIyzp464yzdII定义图形面积对一对相互垂直的轴的矩。AyzIAyzd(1)惯性积的量纲为长度的四次方，单位为m4、cm4、mm4.(2)其值可正、可负，可为零。(3)若所选坐标轴有一个对称轴，则惯性积的值为零。yzOdAzy三、惯性积说明：yzOdAdA四、几个主要概念(4)形心主惯性矩:任一形心主惯性轴的惯性矩(1)主惯性轴:Iy0z0=0，则y0、z0为主惯性轴。(2)主惯性矩：对任一主惯性轴的惯性矩。(3)形心主惯性轴:过形心的主惯性轴。具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定是平面图形的主惯性轴。任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴。第三节平行移轴公式一、惯性矩的平行移轴公式yzOCabyCzCC为形心，y、z为原坐标轴，yc、zc为过形心C分别与y、z平行的坐标轴，则有：ccyyzzIIaAIIbA22(1)两平行轴中必须有一轴为形心轴。(2)截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系应通过平行的形心轴惯性矩来换算。(3)截面图形对所有平行轴的惯性矩中以对通过形心轴的惯性矩为最小。说明：二、惯性积的平行移轴公式yzOCabyCzCC为形心，y、z为原坐标轴，yc、zc为过形心C分别与y、z平行的坐标轴，则有：abAIIcczyyz说明：不是所有平行轴的惯性积中的最小值，因为a、b（形心坐标）可正可负，其符号由其所在象限确定。cczyI证明：yzOCabyCzCdAzzCccyybzzayyCIyAIzAIyzAzAyAyzA22ddd,,IyAIzAIyzAzcAycAyzccAcccc22ddd,,IyAzA2d()dcAybA2dddccAAAyAbyAbA222czIbA2由几何关系得：()dcAzaA2dyAIzA2dddccAAAzAazAaA222cyIaA2dyzAIyzA()()dccAybzaAddddccccAAAAyzAayAbzAabAccyzIabASyc=0Szc=0三、组合图形形心主惯性矩的计算3、叠加1、确定形心主惯性轴2、各组成图形分别对自身形心轴yi、zi轴取矩,yi、zi轴分别平行与y、z轴。a.确定形心b.确定形心主惯性轴()()()()iinnyyiyiiiinnzziziiiiIIIaAIIIbA211211例试计算T形截面的形心主惯性矩。Czy3003027050yc解：（1）确定形心及形心主惯性轴。90212211AAzAzAzc由于z为对称轴，故yc、z都为形心主惯性轴。（2）计算两矩形对自身形心C1、C2的惯性矩。,1081.21250270,102.81227050,1075.61230030,1075.61230300637373532211zyzyIIIIC1y1C2y2z2z1().()().icinnzziziinnyyiyiiiiIIIIIIaA61126117031102036810（3）计算形心惯性矩。Czy3003027050ycC1y1C2y2z2z1.,.,.,..yzyzIIII11223537373630030675101230300675101250270821012270502811012第四节转轴公式主惯性轴(自学)yzOdAy1z1αz1y1yzsincossincos11yzzzyy2cos2sin22sin2cos222sin2cos221111yzzyzyyzzyzyzyzzyzyyIIIIIIIIIIIIIIIIdAzIAy211dAyIAz211dAzyIAzy1111