平面向量的数量积与运算律

物理中功的概念θsF一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？其中力F和位移s是向量，功是数量.|s||F|Wcos是F的方向与s的方向的夹角。新课引入先看一个概念-----向量的夹角AOB)1800(OABabOABba当，0OABba当，180OABab当，90ba记作已知a与b同向；a与b反向；a与b垂直.练习一：在中，找出下列向量的夹角：ABCABC(1);ABAC与(2);ABC与B(3)ACC与B。平面向量的数量积的定义（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.（3）在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是[0°，180°]．（2）两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，它与数的乘法是有区别的，a·b不能写成a×b或ab.说明：结论：①0与任意向量的夹角是任意值.②,ab=0a//b，且方向相同．③,ab2ab．④,aba//b，且方向相反．例题1：求下列向量的内积（1）5a，4b，,ab60，求ab.（书P56）（2）3,4a，12b，ab2，求ab.（册，下同）（3）3,4a，3,4b，求ab.（4）1,3a，aa.（5）a0，,xyb，求ab.平面向量数量积的性质：（1）e·a=a·e=|a|cos（2）a⊥ba·b=0(判断两向量垂直的依据)（3）当a与b同向时，a·b=|a|·|b|，当a与b反向时，a·b=-|a|·|b|．特别地22aaaaa或4cosabab(a//ba·b=±|a|·|b|)(5)abab例题2：已知2ab，2ab，求.4cosabab数量积的运算律：abba)()()(bababacbcacba)(⑴交换律：⑵对数乘的结合律：⑶分配律：则，和实数、、已知向量cba练习：化简（1）23ab（2）2aba（3）42aab（4）2ABABCD例题3：已知3,1a，2b，3ab，求：（1）23ab（2）2aba（3）42aab例题3：已知3,1a，2b，3ab，求：（1）23ab解：由题意（2）2aba（3）42aab练习二：0,（1）在四边形ABCD中，AB·BC=0，且AB=DC则四边形ABCD是（）A梯形B菱形C矩形D正方形（3）在中，已知|AB|=|AC|=1，且ABCAB·AC=，则这个三角形的形状是12C±1等边三角形（2）已知向量a,b共线，且|a|=2|b|则a与b间的夹角的余弦值是。总结提炼1、向量的数量积的物理模型是力的做功；4、两向量的夹角范围是[0,]5、掌握五条重要性质：平面向量的数量积的几何意义是:a的长度|a|与b在a的方向上的数量|b|cos的乘积2、a·b的结果是一个实数，它是标量不是向量。3、利用a·b=|a|·|b|cos可求两向量的夹角，尤其是判定垂直。演练反馈××√判断下列各题是否正确：（2）、若，，则0a0ab0b（3）、若，，则0aabbcac(1)、若，则任一向量，有0ab0ab（4）、//ababab×分配律的证明：aAcBCb1AB1Oabc().abcacbcrrrrrrr在实数中，有(ab)c=a(bc)，向量中是否也有?为什么?答：没有.()()abcabc因为右端是与共线的向量，而左端是与共线的向量，但一般与不共线．acca所以，向量的数量积不满足结合律．所以，向量的数量积不满足消去律．在实数中，若ab=ac且a0，则b=c向量中是否也有“若，则”成立呢?为什么?(0)abacabcOababABC例3已知||=6，||=4，与的夹角为60，求：ab解：(1)ba(1)(2)(3);abab(2)(3)abab6aaabbb22||6||aabb22664cos6064=72.1.小结：2.向量运算不能照搬实数运算律，交换律、数乘结合律、分配率成立；向量结合律、消去律不成立。3.向量的主要应用是解决长度和夹角问题。0.abab运用平面向量的坐标求内积11,xya22,xybij探究：设，，，分别为x轴和y轴正方向上的单位向量。（1）||||ijjijj（2）用,ab的坐标表示它们的内积ab。11xiyja，22xiyjb（2）用,ab的坐标表示它们的内积ab。1122xiyjxiyjab12121221xxiiyyjjxyijxyji故：1212xxyyab１１０11平面向量内积的坐标表示设向量a，b的坐标为11,xya，22,xyb，则1212xxyyab即：两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积之和.探究：利用坐标公式验证向量的模（1）若,xya，则2222xyaaaa所以22xya（2）若11,Axy，22,Bxy，则2121,ABxxyy所以222121ABxxyy（两点间距离公式）例题３：求下列向量的内积（1）3,2a，1,5b，求ab解：（１）（2）3,1a，2,5b，求ab.（3）1,1a，1,1b，求ab.结论：由（3）的计算结果发现：121200xxyyabab121200xxyyabab例题2：已知1,2,2,3ab，求：（1）abab（2）2abab向量夹角的计算公式设1122,,,xyxyab，则121222221122cos,abababxxyyxyxy1,2,3,1abab,ab例题3：已知，求，，，解：例题4：根据条件分别求出,ab的夹角（1）3a，4b，6ab.（2）2ab，2ab.（3）2,1a，3,1b.（4）2,1a，3,1b.例５判断下列各组向量是否相互垂直：解：解：