反证法例题与练习

解析：由∠C=90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知a2+b2＝c2.如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？ACabc一、复习引入BB探究：假设a2+b2＝c2，由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾。假设不成立，从而说明原结论a2+b2≠c2成立。ACB若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2+b2≠c2成立吗？请说明理由。abc这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法叫做反证法。问题：发现知识：二、探究三、应用新知在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B≠∠CABC证明：假设，则（）这与矛盾．假设不成立．∴．∠B＝∠CAB＝AC等角对等边已知AB≠AC∠B≠∠C小结：反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确例１A证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A。那么过点A就有两条直线a、b与直线c平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾,假设不成立。∴a//b.小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾已知：如图有a、b、c三条直线，且a//c,b//c.求证：a//babc例2求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。已知：△ABC求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.证明：假设，则。∴，即。这与矛盾．假设不成立．∴．△ABC中没有一个内角小于或等于60°∠A60°,∠B60°,∠C60°∠A+∠B+∠C60°+60°+60°=180°∠A+∠B+∠C180°三角形的内角和为180度△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.点拨：至少的反面是没有！例3四、巩固新知1、试说出下列命题的反面：（1）a是实数。（2)a大于2。（3）a小于2。（4）至少有2个（5）最多有一个（6）两条直线平行。2、用反证法证明“若a2≠b2,则a≠b”的第一步是。3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步。a不是实数a小于或等于２a大于或等于２没有两个一个也没有两直线相交假设a=b假设这个三角形是等腰三角形已知：在梯形ABCD中，AB//CD，∠C≠∠D求证：梯形ABCD不是等腰梯形.证明：假设梯形ABCD是等腰梯形。∴∠C=∠D（等腰梯形同一底上的两内角相等）这与已知条件∠C≠∠D矛盾,假设不成立。∴梯形ABCD不是等腰梯形.４、求证：如果一个梯形同一底上的两个内角不相等，那么这个梯形不是等腰梯形。ABCD五、拓展应用1、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。求证：PB≠PCABCP证明：假设PB=PC。在△ABP与△ACP中AB=AC(已知）AP=AP（公共边）PB=PC（已知）∴△ABP≌△ACP（S.S.S)∴∠APB=∠APC(全等三角形对应边相等）这与已知条件∠APB≠∠APC矛盾，假设不成立.∴PB≠PC•1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()•A．有一个解•B．有两个解•C．至少有三个解•D．至少有两个解[解析]在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.•2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为()•A．a、b、c都是奇数•B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数•C．a、b、c都是偶数•D．a、b、c中至少有两个偶数[解析]a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”．故应选B.[解析]“至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数•3．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是()•A．假设a，b，c都是偶数•B．假设a、b，c都不是偶数•C．假设a，b，c至多有一个偶数•D．假设a，b，c至多有两个偶数[解析]“ab”的否定应为“a＝b或ab”，即a≤b.故应选B.•4．命题“△ABC中，若∠A∠B，则ab”的结论的否定应该是()•A．ab•B．a≤b•C．a＝b•D．a≥b[解析]因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、丙对，所以丙为获奖歌手．故应选C.•5．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是()•A．甲•B．乙•C．丙•D．丁[答案]没有一个是三角形或四边形或五边形•6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．[答案]a，b都不能被5整除•7．用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是________________．[答案]③①②[解析]由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.•8．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：•①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；•②所以一个三角形中不能有两个直角；•③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.•正确顺序的序号排列为____________．