4材料力学 第四章：弯曲内力总结

材料力学刘鸿文主编(第4版)高等教育出版社目录第四章弯曲内力目录第四章弯曲内力§4-1弯曲的概念和实例§4-2受弯杆件的简化§4-3剪力和弯矩§4-4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系§4-6平面曲杆的弯曲内力目录§4-1弯曲的概念和实例起重机大梁目录车削工件目录§4-1弯曲的概念和实例火车轮轴目录§4-1弯曲的概念和实例弯曲特点以弯曲变形为主的杆件通常称为梁目录§4-1弯曲的概念和实例平面弯曲平面弯曲:弯曲变形后的轴线为平面曲线,且该平面曲线仍与外力共面。目录§4-1弯曲的概念和实例对称弯曲常见弯曲构件截面目录§4-1弯曲的概念和实例梁的载荷与支座•集中载荷•分布载荷•集中力偶固定铰支座活动铰支座固定端§4-2受弯杆件的简化目录目录§4-2受弯杆件的简化火车轮轴简化目录§4-2受弯杆件的简化目录§4-2受弯杆件的简化吊车大梁简化均匀分布载荷简称均布载荷目录§4-2受弯杆件的简化非均匀分布载荷目录§4-2受弯杆件的简化简支梁外伸梁悬臂梁FAxFAyFByFAxFAyFByFAxFAyMA静定梁的基本形式目录§4-2受弯杆件的简化FNFSM0xF0NF0yF1ASFFFy0cM)(1axFxFMAyFS剪力，平行于横截面的内力合力M弯矩，垂直于横截面的内力系的合力偶矩FByFNFSM§4-3剪力和弯矩目录FAyFAyFNFSMFByFNFSM截面上的剪力对所选梁段上任意一点的矩为顺时针转向时，剪力为正；反之为负。+_截面上的弯矩使得梁呈凹形为正；反之为负。§4-3剪力和弯矩左上右下为正；反之为负左顺右逆为正；反之为负目录+_解：1.确定支反力FAyFBy0yFFFFByAy20AMaFFaaFBy233FFBy35FFAy2.用截面法研究内力FAyFSEME0yF352FFFSE0OM233522aFMaFE3FFSE23FaME目录例题4-1FAy§4-3剪力和弯矩FByFByFAyFSEMEO3FFBy35FFAy分析右段得到：FSEMEO0yF0BySEFF3FFFBySE0oMFaaFMByE2323FaME目录§4-3剪力和弯矩FAyFBy3FFBy35FFAy截面上的剪力等于截面任一侧外力的代数和。目录FAyFSE35FFSE2FFSEF23F§4-3剪力和弯矩FAyFBy3FFBy35FFAy截面上的弯矩等于截面任一侧外力对截面形心力矩的代数和。目录MEFAy2335aFME22aFFa232FME§4-3剪力和弯矩8/2qlq悬臂梁受均布载荷作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：任选一截面x，写出剪力和弯矩方程xlxqxxFS0＝lxqxxM02/2＝依方程画出剪力图和弯矩图FSxMxql2/2qll由剪力图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为qlFS＝max2/2maxqlM＝目录例题4-2qxxMxFS§4-4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图BAlFAYFBY图示简支梁C点受集中力作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力00＝，＝BAMMFAy＝Fb/lFBy＝Fa/l2．写出剪力和弯矩方程x2FSxMxlFb/lFa/lFab/x1ACaxlFbxFS110/＝axlFbxxM1110/＝CBlxalFaxFS22/＝lxalxlFaxM222/＝3.依方程画出剪力图和弯矩图。CFab目录例题4-3§4-4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图BAlFAYFBY图示简支梁C点受集中力偶作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力00＝，＝BAMMFAy＝M/lFBy＝-M/l2．写出剪力和弯矩方程x2lMa/x1ACaxlMxFS110/＝axlMxxM1110/＝CBbxlMxFS220/＝bxlMxxM2220/＝3.依方程画出剪力图和弯矩图。lM/lMb/CMab目录例题4-4§4-4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图32/32ql32/32qlBAlFAYqFBY简支梁受均布载荷作用试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力00＝，＝BAMMFAy＝FBy＝ql/22．写出剪力和弯矩方程yxCxlxqxqlxFS02/＝lxqxqlxxM02/2/2＝3.依方程画出剪力图和弯矩图。FSxMx2/ql2/ql8/2ql目录例题4-5§4-4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图27Bql22qlyq已知平面刚架上的均布载荷集度q,长度l。试：画出刚架的内力图。例题4-6解：1、确定约束力2、写出各段的内力方程竖杆AB：A点向上为ylyqyqlyFqlqyyFFSSx000lyqlyFqlyFFNNy02/02/0lyqyqlyyMqlyyqyyMyM02/02/02Bql22ql22qlyFN(y)FS(y)M(y)平面刚架的内力目录28横杆CB：C点向左为xlxqlxFqlxFFSSy02/02/0lxxFFNx000lxqlxxMqlxxMxM02/02/0Bql22ql22qlyB22qlFN(x)M(x)xFS(x)x平面刚架的内力目录29竖杆AB：qyqlyFS2/qlyFN2/2qyqlyyMBql22ql22qly根据各段的内力方程画内力图横杆CB：2/qlxFS0xFN2/qlxxMMFNFSql22ql＋－2ql2ql2ql2ql＋平面刚架的内力目录§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩关系：)()()(22xqdxxdFdxxMds目录载荷集度、剪力和弯矩关系：)()()(22xqdxxdFdxxMds1.q＝0，Fs=常数，剪力图为水平直线；M(x)为x的一次函数，弯矩图为斜直线。2.q＝常数，Fs(x)为x的一次函数，剪力图为斜直线；M(x)为x的二次函数，弯矩图为抛物线。分布载荷向上（q0），抛物线呈凹形；分布载荷向上（q0），抛物线呈凸形。3.剪力Fs=0处，弯矩取极值。4.集中力作用处，剪力图突变；集中力偶作用处，弯矩图突变§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录5、也可通过积分方法确定剪力、弯矩图上各点处的数值。SddFxMxFMddSbabaxFMddSbaFAaMbMSqxFddSxqFddSbabaxqFddSbaSSqAaFbF从左到右，向上（下）集中力作用处，剪力图向上（下）突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。从左到右，顺（逆）时针集中力偶作用处，弯矩图向上（下）突变，突变幅度为集中力偶的大小。剪力图在该点没有变化。§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。建立FS一x和M一x坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kN例题4-6简支梁受力的大小和方向如图示。试画出其剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力00＝，＝BAMM求得A、B二处的约束力FAy＝0.89kN,FBy＝1.11kN根据力矩平衡方程2．确定控制面在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。EDCF§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录(+)(-)BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kNEDCFM(kN.m)xO3．建立坐标系建立FS－x和M－x坐标系5．根据微分关系连图线4．应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在FS－x和M－x坐标系中。0.891.111.3351.67(-)(-)0.335xFS(kN)O0.89kN=＝1.11kN§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录（-）（+）解法2：1．确定约束力FAy＝0.89kNFFy＝1.11kN2．确定控制面为A、C、D、B两侧截面。FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDC3．从A截面左测开始画剪力图。Fs（kN）0.891.11§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录（-）（-）4．从A截面左测开始画弯矩图。M（kN.m）从A左到A右从C左到C右从D左到D右从A右到C左1.3300.330从C右到D左1.665（-）（+）FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDCFs（kN）0.891.11§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系从D右到B左从B左到B右目录qBADa4aFAyFBy例题4-7试画出梁的剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力根据梁的整体平衡，由00＝，＝BAMM求得A、B二处的约束力qaFqaFByAy4349＝＝,qa2．确定控制面由于AB段上作用有连续分布载荷，故A、B两个截面为控制面，约束力FBy右侧的截面，以及集中力qa左侧的截面，也都是控制面。C§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录（+）（-）（+）qBADa4aFAyFByqaC3．建立坐标系建立FS－x和M－x坐标系OFSxOMx4．确定控制面上的剪力值，并将其标在FS－x中。4/9qa4/7qaqa32/812qa4/9a2qa5．确定控制面上的弯矩值，并将其标在M－x中。qa49qa43＝§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录（+）（-）qaFqaFByAy4349＝＝,qBADa4aFAyFByqa解法2：1．确定约束力2．确定控制面，即A、B、D两侧截面。3．从A截面左测开始画剪力图。Fs9qa/47qa/4qa§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录（+）M（+）（-）qBADa4aFAyFByqaFs9qa/47qa/4qa4．求出剪力为零的点到A的距离。B点的弯矩为-1/2×7qa/4×7a/4+81qa2/32=qa2AB段为上凸抛物线。且有极大值。该点的弯矩为1/2×9qa/4×9a/4=81qa2/325．从A截面左测开始画弯矩图4/9a81qa2/32qa2§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录（-）（-）（+）（+）（-）Fs例题4-8试画出图示有中间铰梁的剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力2/qaFDy从铰处将梁截开qFDyFDyqaFAyFByMAFAyFBy2/3qaFBy2/qaFAy2/2qaMAqa/2qa/2qaMqa2/2qa2/2BAaqaCaaDqMA§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录平面曲杆某些构件（吊钩等）其轴线为平面曲线称为平面曲杆。当外力与平面曲杆均在同一平面内时，曲杆的内力有轴力、剪力和弯矩。目录§4-6平面曲杆的弯曲内力目录画出该曲杆的内力图sinFFN解：写出曲杆的内力方程FRmmFNFSFMcosFFSsinFRMFNFFSFFRM§4-6平面曲杆的弯曲内力例题4-10小结1、熟练求解各种形式静定梁的支座反力2、明确剪力和弯矩的概念，理解剪力和弯矩的正负号规定3、熟练计算任意截面上的剪力和弯矩的数值4、熟练建立剪力方程、弯矩方程，正确绘制剪力图和弯矩图目录