椭圆的几何性质2

基础知识回顾1.椭圆的概念平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹——椭圆xyOF1F2P1212PFPFFF椭圆1212PFPFFF线段F1F21212PFPFFF轨迹不存在2.椭圆的几何性质标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a、b、c的关系22221(0)xyabab|x|≤a,|y|≤b关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(-a,0)、(a,0)、(0,-b)、(0,b)(-c,0)、(c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.abceaa2=b2+c222221(0)xyabba|x|≤b,|y|≤a同前(-b,0)、(b,0)、(0,-a)、(0,a)(0,-c)、(0,c)同前同前同前3.已知P是椭圆上一点,F1,F2是它的两个焦点,若∠F1PF2=θ,则△F1PF2的面积为)0(12222babyaxxyOF1F2Pr1r2122tan2PFFSb例1已知P是椭圆上一点,F1,F2是它的两个焦点,若∠F1PF2=600,则△F1PF2的面积为2212516xy的最大值为bc12PFFSxyOF1F2Pr1r2思考：设P的坐标为(x0,y0)求使最大时点P的坐标结论：当P(0,±b)时，最大1.设P为椭圆上一点,F1,F2分别为其左右焦点,则cos∠F1PF2的最小值是22194xy19M2.设点P为椭圆上一动点,F1,F2分别为左右焦点,当∠F1PF2为钝角时,点P横坐标的取值范围是22194xy3535,55QMNxyOF1F2P变3.若椭圆的左右焦点分别为F1,F2,若椭圆上存在一点P,使PF1⊥PF2,则椭圆的离心率的范围.)0(12222babyaxxyOF1F2Pca212，4.椭圆的通径22bABaxyOF1F2AB过焦点作与长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,线段AB叫做椭圆的通径。(c,y0)(c,-y0)设A(c,y0)(y00)则B(c,-y0)将A代入椭圆方程得12222byax222422202221cacbybbaaa20bya2022bABya例2.已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶点,则点P到x轴的距离为221169xyxyOF1F2PxyOF1F2PH99747或引申.椭圆的右焦点为F2,点P在椭圆上,如果线段PF2的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标为221123xyxyOF1F2P例3.椭圆的焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点在y轴上,那么PF1是PF2的倍221123xyxyOF1F2PM734M小题练习1.椭圆,若AB为过左焦点F1的弦,则△F2AB的周长为221169xy2.△ABC中,A(-2,0),B(2,0),且AC,AB,BC成等差数列,则点C的轨迹方程为22101612xyy163.若椭圆的离心率为,则实数m=2213xym1294或44.椭圆上一点P到两个焦点的距离之积为m,则m取最大值时,点P的坐标为221259xy(0,3)或(0,-3)5.椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦点到椭圆上的点的最短距离是,则这个椭圆的方程是3222211129129xyyx或7.设F1,F2为椭圆左、右焦点,过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于P,Q两点,当四边形PF1QF2面积最大时，PF1PF2的值等于.22143xy6.在平面直角坐标系xoy中,已知△ABC的顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆上,则221259xysinsinsinACB5428.设椭圆上有一点P到左焦点F的距离为6,若点M满足OM=(OP+OF),则OM=2212516xy122221259xy9.设F1,F2分别是椭圆的左,右焦点,若点P在椭圆上，且满足PF1PF2=0,则PF1+PF2=8xyOFEPQMxyOF1F2PQ10.已知椭圆,A为右顶点,B为短轴一顶点,F为左焦点,且AB⊥BF,则此椭圆的离心率为)0(12222babyax11.设椭圆的半焦距为c,直线l过点(0,a)和(b,0),已知原点到l的距离为,则椭圆的离心率为)0(12222babxay2217c12512xyOFABxyOABabxyOF1F23-112.已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，以原点O为圆心，OF1为半径的圆与椭圆在y轴左侧交于A、B两点，若△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率等于22221(0)xyababAB13.在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2c,以O为圆心,a为半径的圆,过点作圆的两切线互相垂直，则离心率e=22221(0)xyabab2,0acxyOF1F2PaAB22xyOF1F2P14.椭圆M：的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆M上任一点,且的最大值为3c2其中c2=a2-b2,则椭圆M的离心率为12PFPF22221(0)xyabab3315.如图，在平面直角坐标系xoy中，A1,A2,B1,B2为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为.22221(0)xyababxyA1B2A2OTMFB1275e例1.设F1,F2分别是椭圆的左,右焦点.(1)若P是该椭圆上的一个动点,求PF1PF2的最大值和最小值(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A,B且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围2214xyyxOF1F2PyxOlMAB例2.已知椭圆的焦点坐标为,离心率为直线l的方程为x=4.(1)求椭圆的方程；(2)若P是椭圆上任意一点，A,B是椭圆的左，右顶点直线AP,PB与直线l的交点分别是M,N,是否存在以MN为直径的圆过定点？若存在，求出定点坐标。30，32yxOF1F2PABMNl例3.如图,在直角坐标系中,已知椭圆的左右顶点为A,B,右焦点为F.设过点T(t,m)的直线TA，TB与椭圆分别交于点,其中中。（1）设动点P满足,求点P的轨迹；（2）设,求点T的坐标；（3）设t=9,求证:直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。1122,,MxyNxy，22195xy120,0,0myy224PFPB1212,3xxyxOFMNABT例4：如图,设点P是椭圆E：上的任意一点(异于左,右顶点A,B).(1)若椭圆E的右焦点为F,上顶点为C,求以F为圆心且与直线AC相切的圆的半径;(2)设直线分别交直线l:于点M,N,求证:2214xy103xPNBMyCNMFBAOPxl过椭圆内的一点P(2,-1)的弦,恰好被P点平分,则这条弦所在的直线方程是22165xy典型题型展示yxOpAB11,xy22,xy5x-3y-13=0例7.已知椭圆C:的左,右焦点为F1,F2,点P在椭圆C上,且PF1⊥PF2,(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,交椭圆C于A,B两点,且A,B关于点M对称,求直线l方程.)0(12222babyax12414,33PFPFyxOF1F2PyxOMABl