高等数学背景下的高考数学

2020/1/291题记：每当我仰望夜空，时有流星划过天际，发出璀灿夺目的光芒，是那样的璀灿和迷人。在这迷人的夜里，愿我的灵魂能化作那遥远的星空，凝视着你，凝视着你……2020/1/292高考数学试题的命题背景探索高考数学学科的命题，在考察基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考察，注重对数学能力的考查，注重展现数学的科学价值和人文价值，同时试题力求立意新颖、表达脱俗、背景公平。2020/1/2931、高考试题根植于课本，着眼于提高课本是数学知识和数学思想方法的载体，又是教学的依据，理应成为高考数学试题的源头，因此高考命题注重课本在命题中的作用，充分发挥课本作为试题的根本来源的功能，通过对高考数学试题命题的研究可以发现，每年均有一定数量（10题左右）的试题是以课本习题为素材的变式题，通过变形、延伸与拓展来命制高考数学试题，具体表现为三个层次：2020/1/294•第一层次：选编原题，仿制题。有的题目直接取自于教材，有的是课本概念、公式、例题、习题的改编。•第二层次：串联方式，综合习题。即有的题目是教材中几个题目或几种方法的串联，综合与拓展。•第三层次：增加层次，添加参数。即通过增加题目的层次、设置隐含条件、引进讨论的的参数，改变提问的方向等，提高题目的灵活性和综合性。2020/1/2952、顺应新课改体现新理念目前新一轮课改正在如火如荼的进行，高考数学试题理应关注高中数学课程改革的进展，汲取新课程中的新理念、新思想。因此课本和新课程标准的交集成为试题的创新地带。2020/1/2963、借用高观点考察潜能力高观点题是指与高等数学相联系的问题，这样的问题或以高等数学知识为背景，或体现高等数学中常用的数学思想和推理方法，高观点题的起点高，但落点低，即试题的设计来源于高等数学，但解决的方法是中学所学的初等数学知识2020/1/297知识层面：（1）以函数知识为载体，研究函数的各类性质；（2）以数列知识为依托，研究无穷数列的敛散性；（3）以函数导数为纽带，研究不等式的性质。高等数学背景下的高考数学2020/1/298方法层面：重点考查迭代法、放缩法、数学归纳法、构造法等重要方法和技巧。内容层面：导数引进高考，为利用导数工具研究函数问题提供了基础。2020/1/299高等数学背景下的高考数学的趋势趋势一涉及的问题往往是数学的某一分支学科发展初期比较核心的问题或某一分支中比较著名的问题,这些问题能够反映该分支的思想或方法;2020/1/2910将高等数学中与初等数学比较靠近的内容（如凸凹性、不动点原理、压缩映象原理等）直接和间接以定理的形式给出，考查学生转换（化归、迁移）问题的能力。趋势二2020/1/2911趋势三作为数学核心概念及基本思想和技能的内容:函数、统计、导数、向量、逼近、算法、图论初步、矩阵与变换等内容和反映数学文化及对数学发展起重大作用的数学名题仍会是出题的热点。2020/1/2912一、以函数知识为载体，研究函数的各类性质题设中直接引入了高等数学中的某些概念、结论、运算等，要求学生能内化题目给定的信息，抓住相应的关系和特征，结合原有的初等知识解决问题。2020/1/2913涉及内容：1、函数的凹凸性2、函数的有界性3、新概念、新运算4、闭区间套定理5、介质定理6、李普希兹定理7、函数不动点原理8、拉格朗日中值定理9、极限思想10、函数的极值和最值11、周期性12、历史名题2020/1/29141、函数的凹凸性2020/1/2915凹凸函数是高等数学的一类重要函数,自现行高中数学教材中新增了导数的内容后,以该类函数为背景的试题备受命题者的青睐。2020/1/29162020/1/29172、函数的有界性注：本题考察了函数的有界性，单调性，极限，不等式解法等知识2020/1/29183、新概念、新运算（抓住特征，明确运算机理）以高等数学的抽象代数中的运算系统知识为背景设计一个陌生的数学情景,给出一定容量的新信息,通过阅读相关信息,捕捉解题灵感而进行解答的一类新题型。此类试题具有一定的开放性,便于考查对新颖材料的学习理解能力、信息处理的解题能力。2020/1/29192020/1/29202020/1/29212020/1/29222020/1/29232020/1/29242020/1/29254、闭区间套定理2020/1/29265、介质定理2020/1/29276、李普希兹条件（Lipschitz）2020/1/29282020/1/29297、函数不动点“不动点”是现代数学中的重要概念，要求具备综合运用数学知识的能力和素质。解题关键：深刻理解定义，运用函数、方程不等式思想解题。2020/1/29302020/1/29312020/1/29328、拉格朗日中值定理2020/1/29339、函数中的极限思想2020/1/293410、函数的极值、最值——几何意义、单调性判断（单调区间）、凹凸性判断、极值、最值判断2020/1/29352020/1/29362020/1/293711、周期性2020/1/2938•评注：本题类比函数周期性给出集合中元素性质，以研究探索三个函数与集合的关系为目标，综合考查函数概念、性质、图像等基础知识和代数推理、演绎推理、分析抽象及推广研究命题的能力.特别是通过解题过程，对理性思维能力进行了深层次的考查.2020/1/293912、以历史名题的简化和引申为题2020/1/29402020/1/2941二、以数列知识为依托，研究数列的各种性质涉及内容：1、数列的敛散性2、函数与数列2020/1/29421、数列的敛散性（极限问题）极限思想是高等数学教学的主线,是高等数学的核心内容,也是整个高等数学的基础。极限知识自从进入中学教材后就成为了每年数学高考的必考内容,考查范围往往为求值问题、不等式证明问题。2020/1/2943定理：“任何单调有界数列一定有极限”2020/1/29442020/1/29452020/1/29462、以函数导数为工具探究函数特征，研究数列的性质2020/1/29472020/1/29482020/1/29492020/1/29503、以构造函数为方法，研究其它类型题目涉及内容：1、不等式的证明2、组合等式3、向量问题2020/1/29511、利用函数的性质研究不等式问题2020/1/29522020/1/29532、利用函数导数求解组合问题2020/1/29543、向量问题2020/1/2955我们坚信：在高中阶段出现的以高等数学知识为背景的试题,一定可以转换到初等数学知识内容上来解决。而问题的关键是如何进行转换和过渡,如何进行知识的正迁移,建构出熟悉和谐的知识体系和问题背景。2020/1/2956结束语：学业未成何以归三尺案前刺骨椎掩卷稍息凝目处映入眼帘又一回