相似和函数专题复习

相似三角形基本图形的回顾：A型8型×××ABCADEABDE∽△△∥B×ACDECAB×D点E移到与C点重合ABADACABACACADABCACD2∽△△∠ACB=90°CD⊥ABAC2=AD·ABBC2=BD·ABCD2=AD·BD射影定理公共角一线三等角12三垂直12三垂直变形（）12一线三等角（锐角）一线三等角（钝角）12只要见到一条直线上出现了三个等角，往往都存在这样的模型，也会存在相似三角形，当出现了等边的条件之后，相似就转化为全等了1.在△ABC中,AD=2,AE=3,BD=4,题组一：热身训练如图2，若∠ADE=∠C,则AC=______94若△ADE与△ABC相似，则AC=______9或4如图1，若∠ADE=∠B，则AC=______ADEBC（1）ADEBC（2）2.如图，DE∥BC,S△ADE：S△ABC=4:25则AD:DB=________.AECBD2:33、如图所示如图,正方形ABCD的边长为4,E是DC中点,AE⊥EF，则FC的长是()A．1B．2C．3D．4AABCDEF123△ADE∽△ECF3、如图，已知∠B=∠ADE=∠C,请找出图中相似的三角形，并加以证明证明：∵∠ADC是△ABD的外角12∴∠ADC=∠B+∠1∵∠ADC=∠ADE+∠2∴∠1=∠2∴△ABD∽△DCE一线三等角∵∠B=∠ADE=∠CCABDPE4.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=900,AB=2,AD=5,P是AD上一动点(不与A、D重合),PE⊥BP,PE交DE于点Ｅ．（１）△ABP与△DPE是否相似？请说明理由；（２）设AP＝xDE=y，求y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围；2xy5-x12∵∠BPD是△ABP的外角∴∠BPD=∠A+∠1∵∠BPD=∠BPE+∠2∵AB∥CD∴∠A=∠D=∠BPE=90°∴∠1=∠2∴△ABP∽△DPE解：相似，理由如下xxyxyxDPABDEAPDPEABP2521522∽△△(0＜x＜5)．，，，，、、9221ABPSBxPBPCAyxxy为垂足轴内一点是该直线上在第一象限轴于点分别交如图，直线1.yACPBOx（1）求点P的坐标；题组二：综合能力训练32PBOCABAO42421AOCS942ABPAOCSSABAOyACPBOx（1）解：由y=x+2得：x=0时，y=2y=0时，x=-421∴A(-4,0),C(0,2)∵PB⊥x轴∴CO∥PB∴△AOC∽△ABPS△ABP=9∴AB=6，PB=3∴OB=6-4=2∴P（2,3）ACPBOxyRT相似时与当为垂足轴作的右侧在直线且点象上在同一个反比例函数图与点设点AOCBTRTxRTPBRPR，，，，2试求R点的坐标。xyP6322，，，得由反比例函数yxR，设时当OACBRT①∽AOBTCORT21131132113113，RyxCOARTB∟∟ACPBOxyRT(x,y)2y42-x2323，Ryx时当CAOBRT②∽COBTAORTCOARTB∟∟）（或，2,3R2113113RACPBOxyRT（x，y）4y22-x小提示：①求点的坐标基本方法是几何法和代数法。②采用相似，全等，勾股定理等方法求线段的长。④运用分类思想。③运用相似进行计算或证明。2.如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB=2OA，点A的坐标是(-1,2)．（1）求点B的坐标；（2）求过点A,O,B的抛物线的表达式；（3）连接AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使得S△ABP=S△ABOyOBAx112.如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB=2OA，点A的坐标是(-1,2)．（1）求点B的坐标；解（1）过点A作AF⊥x轴于F，过点B作BE⊥x轴于E.∴∠AFO=∠OEB=90°∵点A的坐标是(-1,2)∴AF=2，OF=1．∵OA⊥OB，∴∠AOF+∠BOE=90°．又∵∠BOE+∠OBE=90°，∴∠AOF=∠OBE，∴Rt△AFO∽Rt△OEB，2BEOEOBOFAFOA∴BE=2，OE=4，∴B（4，2）FEyOBAx113.如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB=2OA，点A的坐标是(-1,2)．（2）求过点A,O,B的抛物线的表达式；解：设过点A（-1，2），B（4，2），O（0，0）的抛物线为：y=ax2+bx+c．a-b+c=216a+4b+c=2c=0解得:21a23b0c∴所求抛物线的表达式为：xyx23212FEyOBAx11(3)如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB=2OA，点A的坐标是(-1,2)．（3）连接AB，在（2）中的抛物线上求出点P坐标，使得S△ABP=S△ABOyOBAx11FE解：（3）连接AB由题意，知AB∥x轴设抛物线上符合条件的点P到AB的距离为d，则AFABdABSABP21212521521d2dP3P4P2yOBAx11FE∴点P的纵坐标只能是0或4．令y=0，得:解之，得x1=0，x2=3023212xx符合条件的点P1(0,0),P2(3,0)令y=4，得:解之，得x1=，x2=423212xx24132413符合条件的点P3(,4),P4(,4)24132413∴综上，符合题意的点有四个P1（0，0），P2（3，0）P3(,4),P4(,4)24132413(P1)小结①求点的坐标基本方法是几何法（图形法，如：相似，勾股定理等）和代数法（解析法，如：函数解析式）②我们通常采用相似，全等，勾股定理等方法求线段的长。④分类思想是我们数学常用的方法。③能灵活运用相似三角形的判定方法及性质进行计算或证明⑤利用相似解决一些函数问题1、四边形OABC是放在直角坐标系中的矩形纸片，点A在X轴上，点C在Y轴上，将BC边折叠，使点B落在边OA的点D处，已知CE=AE︰AD=3︰4（1）判断△COD与△DAE是否相似？说明理由（2）求直线CE与X轴的交点P的坐标OxyCBED312A55作业：解：（1）△OCD与△ADE相似．理由如下：由折叠知，∠CDE=∠B=90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠1+∠3=90°，∴∠2=∠3．又∵∠COD=∠DAE=90°∴△OCD∽△ADEOxyCBED312A（1）判断△COD与△DAE是否相似？说明理由解（2）∵AE︰AD=3︰4∴设AE=3t，则AD=4t，由勾股定理得：DE=5t，∴OC=AB=AE+EB=AE+DE=3t+5t=8t．由（1）△OCD∽△ADE，845tCDtt∴OCCDADDE∴OxyCBED312A（2）求直线CE与X轴的交点P的坐标∴CD=10t在△DCE中∵CD2+DE2=CE2OxyCBED312A在△DCE中∵CD2+DE2=CE2222(10)(5)(55)tt∴解得:t=1∴OC=8t=8，AE=3t=3点E的坐标为（10,3）∴点C的坐标为（0,8）设直线CE的解析式为：ykxb1038kbb，∴，解得128kb，，182yx∴∴点P的坐标为(16,0）∴y=0时，x=16