圆形薄板的弯曲问题

圆形薄板轴对称弯曲问题主要内容：一、有关概念及假定四、Mathcad解题应用三、圆形薄板轴对称弯曲问题的求解二、弹性曲面的基本公式一、基本概念及假设1、基本概念——中面平分板厚度t的平面简称为中面。——薄板板的厚度t远小于中面的最小尺寸b，这样的板称为薄板。2、假设薄板的小挠度弯曲理论，是以三个计算假设为基础的。（1）、垂直于中面方向的正应变可以不计。即0zyxz,,0也就是说，在中面的任意一根法线上，薄板全厚度内所有各点都具有相同的位移，其值等于挠度。由几何方程可得与梁的弯曲相似，在梁的任意一横截面上，所有各点都具有相同的位移，其值等于轴线的挠度。（2）、应力分量和远小于其余三个应力分量，因而是次要的，它们所引起的形变可以不计。但它们本身是维持平衡所必需的，不能不计。所以有：0,0yzzxzyzx,z这里与梁的弯曲相同之处，也有不同之处，梁的弯曲我们只考虑横截面，板的弯曲有两个方向，要考虑两个横截面上的应力。结合第一假设，可见中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成为弹性曲面的法线。由于不计所引起的形变，所以其物理方程与薄板平面问题中的物理方程是相同的。z（3）、薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，即：0,000zzu0,0,0000zxyzyzx也就是说，中面的任意一部分，虽然弯曲成弹性曲面的一部分，但它在xy面上投影的形状却保持不变。所以由几何方程可以得出：二、弹性曲面的基本公式1、弹性曲面的微分方程。薄板的小挠度问题是按位移求解的，其基本未知函数是薄板的挠度ω。因此把其它所有物理量都用ω来表示，即可得弹性曲面的微分方程。22222423112yxqEt其中),(),(0000021yxfzywvyxfzxwuywzvxwzuzvywxwzuyzzx由假设可得即积分得下面对弹性曲面的微分方程进行推导。根据薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移即：0,000zzu0),(0),(21yxfyxfzywvzxwu可得zyxwxvyuzywyuzxwxuxyyx222222yxwEzxwywEzywxwEzxyyx22222222222111由几何方程可得由物理方程可得wyEzxywywEzzwxEzyxwxwEzzxyzyxzzyzxxyxyzyyxxzx222333222233321111另由平衡方程可得即()1(2),()1(222221222FwyEzyxFwxEzzyzx积分得x,y)0022tzzytzzxwytzEzwxtzEzzyzx222222224)1(24)1(2根据薄板上下面内的边界条件：可求得F1(x,y),F2(x,y),最后得到：另由平衡方程可得yxzyxxzy即积分得),(34)1(24)1(2343224222yxFwzztEzwztEzzzz根据薄板下面内的边界条件：02tzz可求得F3(x,y),最后得到：wtztzEtz4222121)1(6根据薄板上面内的边界条件：qtzz2)1(12)1(12224422EtDqwDqwEt最后得到：可记为其中wtztzEtz4222121)1(6代入22222322222222)1(12dz1ywxwEtzywxwEzMttx截面上的内力：弯矩可得同样可得MyMx222223)1(12xwywEtMy22dzttxxzM由yxwEtzyxwEzMzMttxyttxyxy23222222)1(12dz1dzyxwEzxy21由可得xyxyM截面上的内力：扭矩wxEttzwxEzQttx23222222)1(12dz41可得由xzwxtzEzzx22224)1(2xQ22dzttxzxQ截面上的内力：剪力wyDQwxDQyxwDMxwywDMywxwDMyxxyyx22222222222)1()1(1222EtD同样可得Qy,记可得tztzqzttQzttQztMztMztMzyyzxxzxyxyyyxx121246461212122223223333如果用截面内力表示截面上的应力，可得qtQtQtMtMtMtzzyzyzxzxzxyzxyytzyxtzx200202222)(23)(23)(6)(6)(6)(截面上的最大应力，正应力发生在板的上下面上，切应力发生在板的中面上，其值为3、边界条件边界上的应力边界条件，一般难于精确满足，一般只要求满足边界内力条件。0,000xxx情况一：以矩形薄板为例，说明各种边界处的边界条件。假设OA边是固支边界，则边界处的挠度和曲面的法向斜率等于零。即情况二：OC具有简支边界。则边界处的挠度和弯矩等于零。即：0,000yyyM22yw2222xwyw后者可表示为＝0由于沿边界的挠度为常值0，故沿x后的导数恒为零，边界条件又可表示为＝0情况三：假设薄板具有简支边界。边界上具有力矩载荷M。这时，边界处的挠度等于零，而弯矩等于力矩载荷。即：MMyyy00,0情况四：假设薄板具有自由边界。边界上具有力矩载荷Mx或My、Mxy及分布剪力Qx或Qy。这时，弯矩等于边界力矩载荷,扭矩Mxy应转换为等效剪力与原有分布剪力Qx或Qy合并为一个条件，分析如下。xxxMMyxyxddyxMyxMxxMMyxyxdxxMMyxyxdyxMxxMMyxyxdxxMMyxyxdxxMyxdAyxMAyxMyxMxxMyxdByxM边界上的分布扭矩就变换为等效的分布剪力边界上的总的分布剪力为除此之外，在A和B还有未被抵消的集中剪力（也就是有集中反力）xxMyxdAyxMxxMQVyxyydAyxMByxM2、板弯曲的解题思路曲面微分方程边界条件挠度ω应力分量方程yxΕzxyΕzyxΕzxyyx22222222222111应力分量方程三、圆形薄板弯曲问题1求解圆形薄板弯曲问题时，用极坐标比较方便。把挠度和横向载荷都看作是极坐标ρ和φ的函数。即：ω=ω(ρ,φ)，q=q(ρ,φ)进行坐标变换可得：ρcosρsinρsinρcosyxρφ则弹性曲面的微分方程可以变换为：22222211qrD222222222111123112EhDD为板的抗弯刚度2、如果圆形薄板的边界是绕z轴对称的，它所受的横向载荷也是绕z轴对称的，q只是ρ的函数，则该薄板的弹性曲面也是绕z轴对称的，即ω只是ρ的函数，这时，弹性曲面的微分方程将简化为：qDdd1dddd1dd2222122lnlnKCBA这个常微分方程的解答是：此时，从板中取出一单元体，则单元体单位长度上的弯矩和扭矩以及板中应力分别为：0dddd1dddd2222MMDMDM应力分别为：0dddd11Εdddd1Ε222222zz在弹性曲面微分方程解答中的ω1是任意一个特解，可以根据载荷的分布按照弹性曲面微分方程的要求来选择；A、B、C、K任意常数，由边界条件来决定。DqKCBA64lnln422对于均布载荷q，取特解ω1=Nρ4代入微分方程，可解得N=q/64D。得特解ω1=qρ4/64D所以轴对称载荷的圆板弯曲的一般解为：（解题思路→A、B、C、K）3、典型问题的边界分析※对于无孔圆板受均布载荷的问题由于薄板中心无孔，所以B和C应当等于零。否则板中心（R=0）处内力及挠度将无限大（参考前内力公式）。而A、K则由边界条件求解。DqKCBA64lnln4220dd,0aa情况一：假设半径为a的薄板具有固支边界。则边界处的挠度和曲面的法向斜率等于零。即将二式联立解方程组，可得A，K。情况二：假设半径为a的薄板具有简支边界。则边界处的挠度和弯矩等于零。即：0,0aaM联立二式解方程组，可得A，K。MMaa,0联立二式解方程组，可得A，K。情况三：假设半径为a的薄板具有简支边界。但无横向载荷q，边界上具有均布力矩载荷M。这时，q等于零，因而特解可以取零。则边界处的挠度等于零，而弯矩等于均布力矩载荷。即：※对于圆环形薄板。条件：内外半径分别为a，b的圆环薄板，内边界简支，外边界自由。薄板不受均布横向载荷q，边界上受均布力矩载荷M。0,0,0bbaaVMMM由于薄板不受横向载荷，所以特解可取零。内外两边界处有四个边界条件。内边界处挠度和弯矩等于零，外边界处弯矩等于均布力矩载荷M，总剪力等于零。即其中，扭矩Mρφ可以变换成等效剪力M1MQV1联立四式解方程组，可得A，B，C，K。与横向剪力Qr合并而成总的剪力即：※对于载荷径向不连续的圆板若圆板所受的载荷沿径向不连续，有间断，则必需将该板划分为N个区段，每一区段内载荷沿径向连续。在每个区段内写出挠度的表达式，其特解项可根据载荷的分布特点选取。每个区段挠度表达式中都有四个待定常数，因此共有4N个待定常数，需要联立4N个方程来求解。因此，求解的关键还是在于寻求能够列出4N个方程的条件。小结对于无孔圆板：1、无论圆板中心处的情况如何，该处的挠度都不应该无限大。由此可确定常数C等于零。2、圆板中心处的支承和载荷情况。如果中心处既无支座又无集中载荷，则该处的弯矩和剪力应有限。3、如果中心处无支座但有集中载荷，则有剪力条件可转化为挠度的条件。四、Mathcad解题应用。例题：半径为a的圆板在ρ=b处简支（ab），承受均布载荷q，求圆板的最大挠度。请看Mathcad中的例题解析过程