spfa算法

SPFA算法求单源最短路的SPFA算法的全称是：ShortestPathFasterAlgorithm。最短路径快速算法－SPFA算法是西南交通大学段凡丁于1994年发表的。适用范围：给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地，而Bellman-Ford算法的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了。我们约定有向加权图G不存在负权回路，即最短路径一定存在。当然，我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序，以判断是否存在负权回路，但这不是我们讨论的重点。算法思想：我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值，用邻接表来存储图G。我们采取的方法是动态逼近法：设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。定理:只要最短路径存在，上述SPFA算法必定能求出最小值。证明：每次将点放入队尾，都是经过松弛操作达到的。换言之，每次的优化将会有某个点v的最短路径估计值d[v]变小。所以算法的执行会使d越来越小。由于我们假定图中不存在负权回路，所以每个结点都有最短路径值。因此，算法不会无限执行下去，随着d值的逐渐变小，直到到达最短路径值时，算法结束，这时的最短路径估计值就是对应结点的最短路径值。（证毕）期望的时间复杂度O(ke)，其中k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2。实现方法：建立一个队列，初始时队列里只有起始点，再建立一个表格记录起始点到所有点的最短路径（该表格的初始值要赋为极大值，该点到他本身的路径赋为0）。然后执行松弛操作，用队列里有的点作为起始点去刷新到所有点的最短路，如果刷新成功且被刷新点不在队列中则把该点加入到队列最后。重复执行直到队列为空。判断有无负环：如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）单源最短路径中的松弛操作对于图中的每个顶点v∈V，都设置一个属性d[v]，描述从源点s到v的最短路径上权值的上界，称为最短路径估计。pre[v]代表S到v的当前最短路径中v点之前的一个点的编号,我们用下面的过程来对最短路径估计和前趋进行初始化。（Θ(V)时间）。经过初始化以后，对所有v∈V，pre[v]=NULL，对v∈V-{s}，有d[s]=0以及d[v]=∞。实际松弛过程：在松弛一条边(u,v)的过程中，要测试是否可以通过u节点，对迄今找到的v的最短路径进行改进；如果可以改进的话，则更新d[v]和pre[v]。一次松弛操作可以减小最短路径估计的值d[v]，并更新v的前趋域pre[v](S到v的当前最短路径中v点之前的一个点的编号)。下面的伪代码对边(u,v)进行一步松弛操作。融入实际的单源最短路径的算法中。RELAX(u,v,w)if(d[v]d[u]+w(u,v)){d[v]=d[u]+w(u,v);pre[v]=u;}松弛是改变最短路径和前趋的唯一方式。求右图a到g的最短路径首先建立起始点a到其余各点的最短路径表格abcdefgd[i]0∞∞∞∞∞∞首先源点a入队，当队列非空时：１、队首元素（a）出队，对以a为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处有b,c,d三个点），此时路径表格状态为：abcdefgd[i]024815∞∞∞在松弛时三个点的最短路径估值变小了，而这些点队列中都没有出现，这些点需要入队，此时，队列中新入队了三个结点b,c,d队首元素b点出队，对以b为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有e点），此时路径表格状态为：abcdefgd[i]02481530∞∞在最短路径表中，e的最短路径估值也变小了，e在队列中不存在，因此e也要入队，此时队列中的元素为c，d，e队首元素c点出队，对以c为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处有e,f两个点），此时路径表格状态为：abcdefgd[i]0248151511∞在最短路径表中，e，f的最短路径估值变小了，e在队列中存在，f不存在。因此e不用入队了，f要入队，此时队列中的元素为d，e，f队首元素d点出队，对以d为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有g这个点），此时路径表格状态为：abcdefgd[i]024815151119在最短路径表中，g的最短路径估值变小了，g在队列中不存在，因此g要入队，此时队列中的元素为e，f，g队首元素e点出队，对以e为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有g这个点），此时路径表格状态为：abcdefgd[i]024815151119在最短路径表中，g的最短路径估值没有变小（松弛不成功），没有新结点入队，队列中元素为f，g队首元素f点出队，对以f为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处有d，e，g三个点），此时路径表格状态为：abcdefgd[i]024815131114在最短路径表中，e，g的最短路径估值又变小，队列中无e点，e入队，队列中存在g这个点，g不用入队，此时队列中元素为g，e队首元素g点出队，对以g为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有b点），此时路径表格状态为：abcdefgd[i]017815131114在最短路径表中，b的最短路径估值又变小，队列中无b点，b入队，此时队列中元素为e，b队首元素e点出队，对以e为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有g这个点），此时路径表格状态为：abcdefgd[i]017815131114在最短路径表中，g的最短路径估值没变化（松弛不成功），此时队列中元素为b队首元素b点出队，对以b为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有e这个点），此时路径表格状态为：abcdefgd[i]017815131114在最短路径表中，e的最短路径估值没变化（松弛不成功），此时队列为空了最终a到g的最短路径为１４最长路设G为有n个顶点的有向无环图，G中各顶点的编号为1到n，且当i，j为G中的一条边时有ij。设w（i，j）为边i，j的长度，请设计算法，计算图G中i，j间的最长路径。输入一个n，表示这个图中有n个顶点，后一个m，表示有m对路径i，j，有向，算出此图中从1到n的最长路径。输入一个数n(2=n=1500)，表示有n个点，接下来一个数m=50000，表示有m条路，接下来m行中每行输入2个数a，b，v表示从a点到b点有条路，路的长度为v。输出从1到n之间的最长路.如果1,n之间没连通，输出－1。21121201-1Pascal版#includecstdiousingnamespacestd;structnode{intx;intvalue;intnext;};nodee[60000];intvisited[1505],dis[1505],st[1505],queue[1000];intmain(){intn,m,u,v,w,start,h,r,cur;freopen(c.in,r,stdin);freopen(c.out,w,stdout);while(scanf(%d%d,&n,&m)!=EOF){for(inti=1;i=1500;i++){visited[i]=0;dis[i]=-1;st[i]=-1;}for(inti=1;i=m;i++){scanf(%d%d%d\n,&u,&v,&w);e[i].x=v;e[i].value=w;e[i].next=st[u];st[u]=i;}start=1;visited[start]=1;dis[start]=0;h=0;r=1;queue[r]=start;while(h!=r){h=(h+1)%1000;cur=queue[h];inttmp=st[cur];visited[cur]=0;while(tmp!=-1){if(dis[e[tmp].x]dis[cur]+e[tmp].value){dis[e[tmp].x]=dis[cur]+e[tmp].value;if(visited[e[tmp].x]==0){visited[e[tmp].x]=1;r=(r+1)%1000;queue[r]=e[tmp].x;}}tmp=e[tmp].next;}}printf(%d\n,dis[n]);}return0;}最短路径的应用---差分约束系统如果一个系统由n个变量和m个约束条件组成，其中每个约束条件形如：xj-xi=bk(i,j∈[1,n],k∈[1,m]),则称其为差分约束系统。差分约束系统是求解关于一组变量的特殊不等式组的方法。x1-x5≤-1x2-x5≤1x3-x1≤5x4-x1≤4x4-x3≤-1x5-x3≤-3x5-x4≤-3对于如下一组含５个变量，７个约束条件的不等式组：求解差分约束系统，可以转化成图论的单源最短路径问题。对于单源最短路径，设d[i]表示源点到顶点I的最短距离。d[j]表示源点到顶点J的最短距离，边I,J的权值为Ｃ，显然有:d[i]+C=d[j]，图论中三角形不等式可以反证法证明。因此，我们可以以每个变量xi为结点，对于约束条件xj-xi=bk，连接一条边(i,j)，边权为bk。为了体现源点到Xi,Xj的最短距离我们再增加一个源点s,s与所有定点相连，边权均为0。对这个图，以s为源点运行SPFA算法，最终所求的{d[i]}即为一组可行解。