幂级数的收敛域

1第四节幂级数1、定义：设),(,),(),(21xuxuxun是定义在RI上的函数列,则称)()()()(211xuxuxuxunnn为定义在区间I上的(函数项)无穷级数.0,xI一、函数项级数的一般概念0102001()()()()nnnuxuxuxux即为一数项级数.22、收敛点与收敛域：如果Ix0,数项级数10)(nnxu收敛,则称0x为级数)(1xunn的收敛点.级数)(1xunn的全体收敛点的集合称为其收敛域.3、和函数：12()()()()nSxuxuxuxx收敛域对收敛域上的任一点x,级数1()nnux收敛,其和是x的函数，记作)(xS,称为级数1()nnux的和函数.33、和函数：12()()()()nSxuxuxuxx收敛域称121()()()()()ndefnknkSxuxuxuxux为级数1()nnux的部分和(函数).显然有,lim()(),nnSxSxx收敛域lim()0,nnRxx收敛域12()()()()()defnnnnRxSxSxuxux记称为级数1()nnux的则项,余6二、幂级数1、幂级数的定义其中na称为幂级数的系数.nnnxxa)(00nnxxaxxaa)()(0010010nnnnnaaxaxax级数称为关于0xx的幂级数；特别地，取00x，称为关于x的幂级数.(1)(2)(1)与(2)可通过变换互相转换.0txx72、幂级数的收敛半径和收敛域（1）任何幂级数0nnnxa在0x处收敛；（2）在不考虑端点的情况下,0nnnxa的收敛域是一个关于原点对称的区间.幂级数的收敛域具有如下特点：对于幂级数,主要研究以下问题：1、求幂级数的收敛半径,收敛域(区间)；2、在收敛域(区间)上,求幂级数的和函数；3、给定一个函数,在指定区间上将它展开成幂级数；8(1)如果级数0nnnxa在)0(11xxx处收敛,(2)如果级数0nnnxa在)0(22xxx处发散,定理(阿贝尔Abel定理)则它在满足不等式||||1xx的一切x处绝对收敛；则它在满足不等式||||2xx的一切x处发散.x1x1x收敛区域发散区域发散区域O2x2x几何解释：9(1)如果级数0nnnxa在)0(11xxx处收敛,(2)如果级数0nnnxa在)0(22xxx处发散,证明,0lim1nnnxa,)1(01收敛nnnxa定理(阿贝尔Abel定理)则它在满足不等式||||1xx的一切x处绝对收敛；则它在满足不等式||||2xx的一切x处发散.),2,1,0(||1nMxann使得,0M||||11nnnnnnxxxaxannnxxxa||||11nxxM||110(1)如果级数0nnnxa在)0(11xxx处收敛,(2)如果级数0nnnxa在)0(22xxx处发散,定理(阿贝尔Abel定理)则它在满足不等式||||1xx的一切x处绝对收敛；则它在满足不等式||||2xx的一切x处发散.||||11nnnnnnxxxaxannnxxxa||||11nxxM||1|,|||1xx,||01收敛等比级数nnxxM,||0收敛nnnxa由比较判别法知,证明(1)0();nnnax因此,级数绝对收敛11(1)如果级数0nnnxa在)0(11xxx处收敛,(2)如果级数0nnnxa在)0(22xxx处发散,定理(阿贝尔Abel定理)则它在满足不等式||||1xx的一切x处绝对收敛；则它在满足不等式||||2xx的一切x处发散.证明,)2(2时级数发散设当xx假如有一点0x满足||||20xx使级数收敛,则级数当2xx时应收敛,由(1)的结论,这与所设矛盾.12(1)如果级数0nnnxa在)0(11xxx处收敛,(2)如果级数0nnnxa在)0(22xxx处发散,定理(阿贝尔Abel定理)则它在满足不等式||||1xx的一切x处绝对收敛；则它在满足不等式||||2xx的一切x处发散.(1)已知0nnnxa在2x处收敛,则它在1x处？2x收敛(2)已知0nnnxa在1x处发散,则它在3x处？(3)已知0(1)nnnax在3x处收敛,则它在12x处？发散收敛13xRR收敛区域发散区域发散区域O则必0R,在Rx||处绝对收敛,在Rx||处发散,在Rx||处可能收敛也可能发散.几何解释：正数R称为幂级数的收敛半径.0nnnax称为幂级数的收敛区间.0nnnax(,)RR的收敛域：0nnnax(,),[,),(,],[,]RRRRRRRR之一14此外,0nnnxa的收敛情况还可能是以下两种特殊情形：（1）仅在0x处收敛；（2）在整个数轴上均收敛；规定：（1）0nnnxa仅在0x处收敛：0,R{};收敛域0（2）0nnnxa在整个数轴上收敛：,R收敛域),(.问题：如何求幂级数的收敛半径?15如果幂级数0nnnxa的所有系数0na,则幂级数0nnnxa的收敛半径为设||lim1nnnaa(或nnna||lim)定理,00,0,1/R1lim||(0).nnnnaRaa直接地讲，就是1lim(0).)||nnnnRaa(或16证明0||nnnax对级数应用比值判别法，||||lim11nnnnnxaxa||||lim1xaannn,||x(1)如果0当1||x时,0nnnxa发散；当1||x时,0nnnxa绝对收敛；故0时,1R；||lim1nnnaa17,0)2(如果.)(0收敛绝对级数nnnxa;R收敛半径,)3(如果.0R收敛半径证毕.则对0x,则对0x,级数0nnnxa发散，,10,||||lim11nnnnnxaxa||||lim1xaannn||||lim11nnnnnxaxa||||lim1xaannn||lim1nnnaa18例2求幂级数的收敛半径和收敛域.1(1)2nnnnxn解(1)20,nnnan1limnnnaRa122lim1nnnnn1lim2nnn1212x时,级数为111(1)212nnnnnnn,所以收敛域为11(,]22.发散；12x时,级数为111(1)2(1)2nnnnnnnn,收敛；19例3求下列幂级数的收敛半径和收敛域.1(1)nnxn1(2)!nnxn121(4)(1)()2nnnnxn1!(3)3nnnnx212(5)1(1)nnnnxn20例3求下列幂级数的收敛半径和收敛域.1x时,级数为11nn,1x时,级数为1(1)nnn,所以收敛域为)1,1[.(1)1nnxn解||lim1nnnaaR，11limnnn发散；收敛.10,nan21一般地，1,npnxn(1)limppnnn若1p,收敛域为]1,1[；若10p,收敛域为)1,1[；若0p,收敛域为)1,1(.||lim1nnnaaR例3求下列幂级数的收敛半径和收敛域.1x时,级数为11pnn；1x时,级数为1(1)npnn；1,22例3求下列幂级数的收敛半径和收敛域.1(2)!nnxn解10,!nan111limlim!(1)!nnnnaRnnalim(1)nn，所以收敛域为),(.23例3求下列幂级数的收敛半径和收敛域.1!(3)3nnnnx解!0,3nnna11!(1)!limlim33nnnnnnannRa3lim1nn所以收敛域为{0},即仅在0x处收敛.0,24作业：2241(2,3,7,10)P说明：题目中的收敛区间指的是收敛域，即端点是要讨论判断的.25122lim1nnnnn，21.)21(2)1(1nnnnxn(4)解nnn21lim||lim1nnnaaR例3求下列幂级数的收敛半径和收敛域.1,2tx令11212(1)()(1)2nnnnnnnnxtnn则2(1)0nnnan，1,2t当时1121(1)(1),2nnnnnnnn级数为收敛1,2t当时11211(1),2nnnnnnn级数为发散1,2xt又故原级数的收敛半径1,2R收敛域为(0,1].26例3求下列幂级数的收敛半径和收敛域.212(5)1(1)nnnnxn解220,1(1)nnnan1limnnnRa1(1)lim2nnne2e,2x当时2211e2e211(1)(1)nnnnnnnnn级数为发散e,2x当时2211e2(1)e211(1)(1)nnnnnnnnnn级数为发散所以收敛域为ee(,)222ee1,0)11(1)(1)nnnnnn故（28例4求幂级数的收敛半径和收敛域.2112nnnx解常见错解10,2nna1limnnnaRa12lim2,....2nnn分析：2135231,=2222nnnxxxx事实上缺少偶次幂的项2112nna，20na，不能用公式法求收敛半径,用定义法求.注若幂级数为缺项级数(有无穷多项)0nnnax0na则不能用公式法求其收敛半径，必须用定义法求.29例4求幂级数的收敛半径和收敛域.2112nnnx解用定义法求收敛半径|)()(|lim1xuxunnn21211lim22||nnnnnxx,||212x,1212x当,2||时即x,1212x当,2||时即x,2时当x,211n级数为发散.所以原级数的收敛域为).2,2(级数绝对收敛；2112nnnx级数发散；2112nnnx2.R由定义，收敛半径30例4求幂级数的收敛半径和收敛域.2112nnnx解常见错误121,,2ttnn令则21111222nttnntxx221122limlim....2tttnntaRa这里即使采用变换后,仍然不能应用公式求收敛半径.由于n取的是正整数值,因此这里的t仍然只能取奇数值，故变换后的级数仍然是缺项级数.31作业：2241(2,3,5,6,7,10)P说明：题目中的收敛区间指的是收敛域，即端点是要讨论判断的.