正方形专题培优3

1正方形专题培优（1）专题四旋转的思想与正方形问题一利用边作为旋转的入手点例1、如图，在正方形ABCD中，FE、分别是边CDBC、上的点，满足CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，AFAE、分别与对角线BD交于NM、，试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由。例2、如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；NFMEBDAC2（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？（3）根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题：①如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB的中点，且∠DCE=45°，求DE的长；②如图3，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=2，CD=3，求△ABC的面积。3例3、正方形ABCD中，E为直线AB上任意一点，DF⊥DE交直线BC的延长线于点F，直线EF、AC交于点H，连接DH（1）如图1当，点E在AB上时，1、判断线段DH与EF之间的位置关系与数量关系，并证明；2、AH-HC与AE之间的数量关系，并证明；3求证：AB+AE=2AH（2）当点E在AB的反向延长线上时，如图2。1、判断线段DH与EF之间的位置关系与数量关系，并证明；2、AH-HC与AE之间的数量关系，并证明；3求证：AB+AE=2AH（3）当点E在AB的延长线上时，完成图3，1、判断线段DH与EF之间的位置关系与数量关系，并证明；2、AH、HC与AE之间是否存在类似的数量关系，并证明；3、AB、AE与AH之间是否存在类似的数量关系，写出你的结论并证明4例4、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．例5（1）已知：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为DC上一点，且∠1=∠2，求证：AF=BC+FC；（2）已知：如图2，把三角尺的直角顶点落在矩形ABCD的对角线交点P处，若旋转三角尺时，它的两条直角边与矩形的两边BC、CD分别相交于M、N，试证：MN2=BM2+DN2．5二利用对角线作为旋转的入手点例1、如图，正方形OEFG绕着正方形ABCD的对角线的交点O旋转，边OE、OG分别交边AD、AB于点M、N．（1）求证：OM=ON；（2）设正方形OEFG的对角线OF与边AB相交于点P，连接PM．若正方形ABCD的边长为12，且PM=5，试求AM的长．例2、如图，在正方形ABCD中，O是两对角线的交点，E、F分别为BC、CD上一点，且FC+CE=AB。点P为△EFC的内角平分线的交点（1）求证：OE=OP=OF（2）如图，线段CP，CB、EF之间存在一个等量关系式，写出你的结论，并证明。（3）若FC=3，EF=EC+1，直接写出PC的长_____________。6例3、如图，在正方形ABCD中，点O是正方形对角线的交点，∠MON=45°。（1）如图1，当点M在BC边上，ON与CD的延长线交于N点，写出BM、MN、CN之间的数量关系并证明你的结论。（2）如图2，当点M在BC边上，ON与CD交于点N，写出BM、MN、CN之间的数量关系，并证明。（3）在（2）中，若正方形的边长为4，MC=1，求CN的长。7例4、如图，正方形ABCD中对角线AC、BD交于点O，直线a经过点A，过D作DE⊥a于E点，连接OE。（1）如图1，当直线a在正方形内部时，求证：AE-DE=2OE（2）如图2，当直线a在正方形外部时，DE⊥a于E点，连接OE，写出AE、DE、OE三者之间的数量关系____________________（不证明）（3）在（2）的条件下，若OE=227,AE:DE=4:3,连接BE，求线段BE的长8专题四正方形中探究问题例1、已知正方形ABCD的边长AB=k（k是正整数），正△PAE的顶点P在正方形内，顶点E在边AB上，且AE=1．将△PAE在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、…连续地翻转n次，使顶点P第一次回到原来的起始位置．（1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上，那么这一翻转过程可以看作是△PAE在直线上作连续的翻转运动．图2是k=1时，△PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图．请你探索：若k=1，则△PAE沿正方形的边连续翻转的次数n=_________时，顶点P第一次回到原来的起始位置；（2）若k=2，则n=__________时，顶点P第一次回到原来的起始位置；若k=3，则n=时，顶点P第一次回到原来的起始位置；（3）请你猜测：使顶点P第一次回到原来的起始位置的n值与k之间的关系（请用含k的代数式表示n）．9例2、（1）如图1，正方形CGEF的边上有一点D，以CD为边在外部作正方形CDAB。连接AE取线段AE的中点M．试探究线段MD、MF的关系，并加以证明．（2）将正方形CGEF绕点C顺时针旋转45°（如图2），其他条件不变，（1）中的结论成立吗？说明理由。（3）将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图3），其他条件不变．试探究线段MD、MF的关系，并加以证明．10例3、正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F．如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF．（1）如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E．①求证：DF=EF；②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；（1）若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E．请完成图3并判断（1）中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论．（所写结论均不必证明）11创优乐园1、设正方形ABCD的边CD的中点为E，F是CE的中点（图）．求证：∠DAE=12∠BAF．12