第12章 联立方程估计与模拟

1第十二章联立方程模型的估计与模拟本章讲述的内容是估计联立方程组参数的方法。包括最小二乘法LS、加权最小二乘法WLS、似乎不相关回归法SUR、二阶段最小二乘法TSLS、加权二阶段最小二乘法W2LS、三阶段最小二乘法3LS、完全信息极大似然法FIML和广义矩法GMM等估计方法。在估计了联立方程组的参数后就可以利用不同的解释变量值对被解释变量进行模拟和预测。2经济系统并没有严格的空间概念。国民经济是一个系统，一个地区的经济也是一个系统，甚至某一项经济活动也是一个系统。例如我们进行商品购买决策，由于存在收入或预算的制约，在决定是否购买某一种商品时，必须考虑到对其他商品的需求与其他商品的价格，这样，不同商品的需求量之间是互相影响、互为因果的。那么，商品购买决策就是一个经济系统。联立方程系统就是一组包含未知数的方程组。利用一些多元方法可以对系统进行估计，这些方法考虑到了方程之间的相互依存关系。312.1联立方程系统概述本章将包含一组未知参数，并且变量之间存在着反馈关系的联立方程组称为“系统”(systems)，可以利用12.2节介绍的多种估计方法求解未知参数。本章的12.3节中将一组描述内生变量的已知方程组称为“模型”(model)，给定了联立方程模型中外生变量的信息就可以使用联立方程模型对内生变量进行模拟、评价和预测。一般的联立方程系统形式是t=1,2,,T(12.1.1)其中：yt是内生变量向量，zt是外生变量向量，ut是一个可能存在序列相关的扰动项向量，T表示样本容量。估计的任务是寻找未知参数向量的估计量。tttfuΔzy,,4例12.1克莱因联立方程系统克莱因（LawrenceRobertKlein）于1950年建立的、旨在分析美国在两次世界大战之间的经济发展的小型宏观计量经济模型。模型规模虽小，但在宏观计量经济模型的发展史上占有重要的地位。以后的美国宏观计量经济模型大都是在此模型的基础上扩充、改进和发展起来的。以至于萨缪尔森认为，“美国的许多模型，剥到当中，发现都有一个小的Klein模型”。所以，对该模型的了解与分析对于了解西方宏观计量经济模型是重要的。Klein模型是以美国两次世界大战之间的1920～1941年的年度数据为样本建立的。5tgtpttttuWWPPCS131210)(tttttuKPPI2131210ttttptuTrendYYW331210ttttGICSYtptttTWYPtttIKK1KleinⅠ模型：（消费）（投资）（私人工资）（均衡需求）（企业利润）（资本存量）（12.1.2）此模型包含3个行为方程，1个定义方程，2个会计方程。式中变量：6个内生变量：4个外生变量：Y：收入（GDP中除去净出口）；G：政府非工资支出；CS：消费；Wg：政府工资；I：总投资(当年固定资本形成)；T：间接税收；Wp：私人工资；Trend：时间趋势；P：企业利润；K：资本存量6消费CS收入Y私人工资WP企业利润P投资I资本存量K政府支出G政府工资WG间接税收TKleinⅠ模型框图注：方框内是行为方程内生变量，椭圆内是恒等方程内生变量，粗体是外生变量。7前3个方程称为行为方程，后面的3个方程称为恒等方程。这是一个简单描述宏观经济的联立方程模型。式（12.1.2）中的前3个行为方程构成联立方程系统：t=1,2,,T（12.1.3）待估计出未知参数后，与式（12.1.2）中的后3个恒等方程一起组成联立方程模型。)(3312102131210131210)()()(私人工资投资消费ttttptttttttgtpttttuTrendYYWuKPPIuWWPPSC8在联立方程模型中，对于其中每个方程，其变量仍然有被解释变量与解释变量之分。但是对于模型系统而言，已经不能用被解释变量与解释变量来划分变量。对于同一个变量，在这个方程中作为被解释变量，在另一个方程中则可能作为解释变量。对于联立方程系统而言，将变量分为内生变量和外生变量两大类，外生变量与滞后内生变量又被统称为先决变量或前定变量。9内生变量是具有某种概率分布的随机变量，它的参数是联立方程系统估计的元素，内生变量是由模型系统决定的，同时也对模型系统产生影响。内生变量一般都是经济变量。外生变量一般是确定性变量。外生变量影响系统，但本身不受系统的影响。外生变量一般是经济变量、条件变量、政策变量、虚拟变量。滞后内生变量是联立方程模型中重要的不可缺少的一部分变量，用以反映经济系统的动态性与连续性。在例12.1中，CS,I,Wp,Y,P,K为内生变量，外生变量G,Wg,T,Trend和滞后内生变量一起构成前定变量。10§12.2联立方程系统的估计方法EViews提供了估计系统参数的两类方法。一类方法是单方程估计方法，使用前面讲过的单方程法对系统中的每个方程分别进行估计。第二类方法是系统估计方法，同时估计系统方程中的所有参数，这种同步方法允许对相关方程的系数进行约束并且使用能解决不同方程残差相关的方法。虽然利用系统方法估计参数具有很多优点，但是这种方法也要付出相应的代价。最重要的是在系统中如果错误指定了系统中的某个方程，使用单方程估计方法估计参数时，如果某个被估计方程的参数估计值很差，只影响这个方程；但如果使用系统估计方法，这个错误指定的方程中较差的参数估计就会“传播”给系统中的其它方程。11这里，应该区分方程组系统和模型的差别。系统(system)是包含一组未知参数，并且变量之间存在着反馈关系的联立方程组；模型(model)是一组描述内生变量关系的已知方程组，给定了模型中外生变量的信息就可以使用模型对内生变量求值。系统和模型经常十分紧密地一起使用，估计了方程组系统中的参数后可以创建一个模型，然后对系统中的内生变量进行模拟和预测。12建立和说明联立方程系统为了估计联立方程系统参数，首先应建立一个系统对象并说明方程系统。单击Object/NewObject/system或者在命令窗口输入system，系统对象窗口就会出现，如果是第一次建立系统，窗口是空白的，在指定窗口用文本方式输入方程，当然也包含了工具变量和参数初值。使用标准的EViews表达式用公式形式输入方程，系统中的方程应该是带有未知参数和隐含误差项的行为方程。例12.1含有三个行为方程的系统是这样的：13这里使用了EViews缺省系数如c(10)、c(20)等等，当然可以使用其它系数向量，但应事先声明，方法是单击主菜单上Object/NewObject/Martrix-Vector-Coef/CoeffientVector。在说明方程时有一些规则：14规则1方程组中，变量和系数可以是非线性的。可以通过在不同方程组中使用相同的系数对系数进行约束。例如：y=c(1)+c(2)*xz=c(3)+c(2)*x+c(4)*y当然也可以说明附加约束，例如有如下方程：y=c(1)*x1+c(2)*x2+c(3)*x3若希望使c(1)+c(2)+c(3)=1，则可以这样描述方程：y=c(1)*x1+c(2)*x2+(1-c(1)-c(2))*x315规则2系统方程可以包含自回归误差项（注意不能有MA、SAR或SMA误差项），每一个AR项必须伴随系数说明（用方括号，等号，系数，逗号），例如：cs=c(1)+c(2)*gdp+[ar(1)=c(3),ar(2)=c(4)]规则3如果方程没有未知参数，则该方程就是恒等式，即定义方程，系统中不应该含有这样的方程，如果必须有的话，应该先解出恒等式将其代入行为方程。16规则4方程中的等号可以出现在方程的任意位置，例如：log(unemp/(1-unemp))=c(1)+c(2)*dmr等号也可以不出现，只输入没有因变量的表达式，例如：(c(1)*x+c(2)*y+4)^2此时，EViews自动地把表达式等于隐含的误差项。规则5应该确信系统中所有扰动项之间没有衡等的联系，即应该避免联立方程系统中某些方程的线性组合可能构成与某个方程相同的形式。例如，方程组中每个方程只描述总体的一部分，方程组的和就是一个恒等式，所有扰动项的和将恒等于零。这种情况下则应放弃其中一个方程以避免这种问题发生。17联立方程系统估计创建和说明了系统后，单击工具条的Estimate键，出现系统估计对话框，在弹出的对话框中选择估计方法和各个选项：18联立方程系统残差协方差矩阵的形式EViews将利用下述方法估计方程组系统的参数。系统中方程可以是线性也可以是非线性的，还可以包含自回归误差项。下面的讨论是以线性方程所组成的平衡系统为对象的，但是这些分析也适合于包含非线性方程的系统。若一个系统，含有k个方程，用分块矩阵形式表示如下：(12.2.1)其中：yi表示第i个方程的T维因变量向量，T是样本观测值个数，Xi表示第i个方程的Tki阶解释变量矩阵，如果含有常数项，则Xi的第一列全为1，ki表示第i个方程的解释变量个数(包含常数项)，i表示第i个方程的ki维系数向量，i=1,2,…,k。kkkkuuuδδδXXXyyy2121212100000019式(12.2.1)可以简单地表示为(12.2.2)其中：设，是m维向量。联立方程系统残差的分块协方差矩阵的kT×kT方阵V大体有如下4种形式。本章的估计方法都是在这些情形的基础上进行讨论的。kiikm1uXΔYkδδδΔ2120[注]设A=(aij)nm,B=(bij)pq，定义A与B的克罗内克积(简称叉积)为显然，AB是npmq阶矩阵，是分块矩阵，其第(i,j)块是aijB。1.在古典线性回归的标准假设下，系统残差的分块协方差矩阵是kT×kT的方阵V(12.2.3)其中：算子表示克罗内克积(kroneckerproduct)，简称叉积，2是系统残差的方差。TkIIuuV2EBBBBBBBBBBAnmnnmmaaaaaaaaa212222111211212.k个方程间的残差存在异方差，但是不存在同期相关时，用表示第i个方程残差的方差，i=1,2,…,k，此时的矩阵形式为(12.2.4)其中diag()代表对角矩阵。TkTTTkIIIIdiagV2222122221000000,,,223.k个方程间的残差不但是异方差的，而且是同期相关的情形，可以通过定义一个k×k的同期相关矩阵进行描述，的第i行第j列的元素ij=E(uiuj)。如果残差是同期不相关的，那么，对于ij，则ij=0，如果k个方程间的残差是异方差且同期相关的，则有(12.2.5)TkkTkTkTkTTTkTTTIIIIIIIIIIΣV212222111211234.在更一般的水平下，k个方程间的残差存在异方差、同期相关的同时，每个方程的残差还存在自相关。此时残差分块协方差矩阵应写成(12.2.6)其中：ij是第i个方程残差和第j个方程残差的自相关矩阵。kkkkkkkkkkkkΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΣV2211222222212111121211112412.2.1单方程估计方法1.普通最小二乘法（OrdinaryLeastSquares,OLS）这种方法是在联立方程中服从关于系统参数的约束条件的情况下，使每个方程的残差平方和最小。如果没有方程间的参数约束，这种方法和使用单方程普通最小二乘法估计每个方程式是一样的。在协方差阵被假定为时，最小二乘法是非常有效的。的估计值为：(12.9)估计值的协方差阵为：(12.10)其中，s2