22.6波函数及其统计解释

1§22.6波函数的统计解释一、对波粒二象性的理解二、波函数和概率波三、物理对波函数的要求四、自由粒子的波函数2大量电子一次入射，立即在屏幕上形成衍射图样。方法一方法二电子一个一个的入射，经过足够长的时间，在屏幕上形成同样的衍射图样。电子衍射实验328只电子1000只电子1万只电子几百万只电子4电子双缝干涉实验5STM观测到的量子围栏（quantumcorral）M.F.Crommie--19936关于波粒二象性的两种错误观点：错误之一：粒子是基本的，把电子波与经典波(如声波)相类比，认为电子波是大量电子相互作用的结果，单个电子不显波性。错误之二：波是基本的，一个粒子是由许多波组合起来的一个波包，波包的速度也就是粒子的速度，波包的运动表现出粒子的性质。但是，单缝衍射、双缝干涉实验否定了这一点。但是，波包在介质中因色散而扩展而消失，但电子没有；波在媒质界面分为反射和折射，但一颗电子是不可分的。72)波动性•“可叠加性”：有干涉、衍射等现象•不是经典的波不代表实在物理量的波动1)粒子性•整体性•不是经典的粒子没有“轨道”概念一、微观粒子波粒二象性的正确理解3)结论：微观粒子在某些条件下表现出粒子性在另一些条件下表现出波动性两种性质寓于一体，却不能同时表现出来8两种图像不会同时出现在你的视觉中。少女？老妇？9二、波函数和概率波1.波函数物质波波函数写成2.玻恩（M.Born）假设物质波不代表实在物理量的波动而是刻划粒子在空间概率分布的概率波),(tr玻恩获得1954年诺贝尔物理学奖经典波（平面单色波）)(2cosxto10I大光子出现概率大I小光子出现概率小波动性:某处明亮则某处光强大即I大粒子性:某处明亮则某处光子多即N大光子数NIE02光子在某处出现的概率和该处光振幅的平方成正比对比光的波粒二象性11概率幅模的平方trtrtr,,,23.概率密度2)概率密度叫概率密度1)概率幅物质波的波函数是描述粒子在空间概率分布的“概率振幅”12ΨrdVxyz代表t时刻在端点处单位体积中发现一个粒子的概率rt时刻在端点附近dV内发现粒子的概率为：rVtrd2,trtrtr,,,2概率密度物理涵义132)有物理意义的是2Ψ3)对于概率分布来讲重要的是相对概率分布波函数可以有一个常数因子的不确定性即rrC和描写同一个概率波讨论它无直接的物理意义所以波函数是复数不同于经典波的波函数),(trΨ1)14先看经典波：声波的干涉通过上缝的声波用描述tiexA)(1通过下缝的声波用描述tiexA)(2双缝齐开时的声波为tieAA)(21振幅矢量相加4.用电子双缝衍射实验说明概率波的含义15声强为*212*1222122112AAAAAAAAI21II+干涉项干涉项再看物质波：电子的相干性注意差别之处双缝齐开时的声波为tieAA)(2116电子的状态用波函数描述•只开上缝时电子有一定的概率通过上缝其状态用1描述•只开下缝时电子有一定的概率通过下缝其状态用2描述17•双缝齐开时总概率幅2112ΨΨΨ22121212||||ΨΨΨP出现了干涉12212221干涉项总概率密度电子可通过上缝也可通过下缝通过上下缝各有一定的概率181)干涉是概率波的干涉是由于概率幅的线性叠加产生的2)即使只有一个电子当双缝齐开时两部分概率幅的叠加就会产生干涉3)微观粒子的波动性实质上就是概率幅的相干叠加性它的状态也要用来描述2112ΨΨΨ结论19经典--声波双缝齐开时的声波为tieAA)(21声强为*212*1222122112AAAAAAAAI21II+干涉项干涉项物质波---电子双缝齐开时总的概率幅为2112ΨΨΨ与经典粒子不同22121212||||ΨΨΨP12212221振幅概率幅20？1221222112P物理学家问:滑雪者究竟是从哪条路过去的呢?21三、物理对波函数的要求1.波函数的有限性根据波函数统计解释在空间任何有限体积元中找到粒子的概率必须为有限值2.波函数的归一性根据波函数统计解释在空间各点的概率总和必须为1)(全空间归一化条件12Vt,rd223.波函数的单值性根据统计解释要求波函数单值从而保证概率密度在任意时刻都是确定的势场性质和边界条件要求波函数及其一阶导数是连续的4.波函数的连续性以上要求称为波函数的标准化条件A1归一化因子若ArrA32d1132rrAAd则23三、自由粒子的波函数0外F.const.constPE.const.constPhhE所以自由粒子相当于单色波所谓自由即粒子不受任何形式力的作用24经典：沿+x传播的单色平面波)(π2xtiAe类比上述经典波的复数表达式量子:沿+x方向运动的自由粒子波函数)(π20),(xtieΨtxΨ)(),(kxtiAetxy最后有意义的是实部将德布罗意波关系PhhE代入得25)(10PxEtieΨπ2h不需要取实部),(txΨ反映了粒子的波粒二象性PhhE)(π20),(xtieΨtxΨ将德布罗意波关系代入得在三维空间中运动的自由粒子的波函数)(0),(rPtEieΨtrΨ26称为空间波函数在物理上通常可以分离时间和空间变量tEirPiee0tEier)(rPier0)(自由粒子.const202)(0),(rPtEieΨtrΨ说明粒子在各处几率相同27波函数模的平方|x,y,z,t)|2(波在空间某点的强度)与t时刻在空间某点(x,y,z)处单位体积内发现粒子的几率成正比。或者说,t时刻在x到x+dx,y到y+dy,z到z+dz的体积d=dxdydz内找到粒子的几率d与|x,y,z,t)|2d成正比。M.Born对波函数物理意义的统计解释（1927）:数学表示：ddd2*•波恩的波函数几率解释是量子力学基本原理之一•波函数是几率幅，是不可测量，可测量是几率•单缝、双缝干涉实验在1961年前是假想实验