第5章控制系统的稳定性

第五章控制系统的稳定性分析一、稳定性的概念和定义二、稳定的充要条件三、代数稳定判据－劳斯判据四、劳斯判据的特殊情况稳定性是控制系统最重要的问题，是系统正常工作的首要条件。控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并且越偏越远，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。如果系统受到扰动后，偏离了原来的平衡状态，而当扰动取消后，系统又能够逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的，或具有稳定性的。否则称系统是不稳定的，或不具有稳定性。0A'AAfA'BBA()a()b()c5.1系统稳定性的基本概念控制系统的稳定性也可以这样定义：若控制系统在任何足够小的初始偏差作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原来平衡状态的性能，则称该系统为稳定；否则，称该系统为不稳定。必须指出：稳定性是系统的固有特性，它取决于系统本身的结构和参数，而与输入无关。控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性，即讨论输入为零，系统仅存在非零初始偏差时的稳定性，或者讨论自由振荡是收敛的还是发散的。5.2系统稳定性的充要条件若系统初始条件为零，对系统加上理想单位脉冲信号，系统的输出就是线性系统的脉冲过渡函数，就相当于扰动信号作用下输出偏离原平衡状态的情况。如果当时，脉冲过渡函数收敛于系统原平衡工作点，即下式成立：()t()gt()gtt()gtlim()0tgt则线性系统是稳定的。()()()CsGsRs()()CsGs()()ctgtlim()0tct设系统闭环传递函数为：()()()MssDs()0DS系统闭环特征方程为:12,nsss设特征根互不相等，系统闭环传递函数可改写如下：闭环特征根为:1()()()niiiAMssDsss则系统脉冲响应的拉氏变换为：1()()niiiACssss得系统的脉冲过渡函数为（响应）1()()instiigtctAe1lim()lim0instittigtAe(1)若为实数is若系统稳定lim0istitAe0is(2)若为复数isiiisj发散0is0i0)tsinjBtcosA(elim)t(glimn1iiiiititt0)t(sineClimn1iiitiit线性系统稳定的充分必要条件是它的所有特征根都具有负实部或都位于S平面的左半平面，则系统稳定。(3)若特征根为k个实根，r个复数根，0i0ip)tsin(eAeC)t(giir1itiitipk1ii★★控制系统稳定的充分必要条件为：系统特征方程的根全部具有负实部。系统特征方程的根就是闭环极点，所以控制系统稳定的充分必要条件也可以表示为：闭环传递函数的极点全部具有负实部，或者说闭环传递函数的极点全部位于平面的S左半面内。例一个单位反馈系统的开环传递函数为()(21)kGsss试说明系统是否稳定。解：系统的闭环传递函数为()()1()GssGs(21)kssk22kssk2()20Dsssk1,21184ks系统稳定0k1.系统稳定性的初步判别（必要条件）设系统的闭环特征方程式为如下标准形式：1011()nnnnDsasasasa02.劳斯稳定判据0241135212331231101nnnnsaaasaaasbbbscccsfsg5.2代数稳定性判据0211311aabaaa直至其余项均为零。ib03111aabaaa670421511aabaaa1311211aacbbb1521311aacbbb1731411aacbbb1nga按此规律一直计算到n-1行为止。考察阵列表第一列系数的符号。假若劳斯阵列表中第一列系数均为正数，则该系统是稳定的;假若第一列系数有负数，则系统不稳定，并且第一列系数符号的改变次数等于在右半平面上根的个数。结论：1011()nnnnDsasasasa0二阶系统稳定的充要条件：三阶系统稳定的充要条件：00a，02a，01a00a，02a，01a03a，3021aaaa例系统特征方程为432()Dsssss6121160试用劳斯判据判别系统的稳定性。(2)列写劳斯阵列表如下:解：(1)特征方程的所有系数均为正实数41126s3611s26166s14556s06s第一列的系数都为正数，系统稳定例系统特征方程为432()1930Dsssss110试用劳斯判据判别系统闭环特征方程根的分布情况。(2)列写劳斯阵列表如下:解：(1)系统特征方程的系数不满足系统稳定的必要条件。41-1230s3111s2-3030s112s030s有两个根位于s平面的右半平面练习系统特征方程为54320sssss3256试用劳斯判据判别系统是否稳定，若不稳定，则确定具有正实部根的个数。答案：系统不稳定,有两个根具有正实部,即有两个根位于s平面的右半平面劳斯判据的特殊情况１、劳斯表中某一行第一列元素为零，其余不为零或不全为零，这时可用一个很小的正数来代替这个零，然后继续劳斯阵列表的运算。若第一列元素不改变符号，则系统临界稳定，否则不稳定。2016s解：(1)系统特征方程的系数满足系统稳定的必要条件。例系统特征方程为判别系统的稳定性。432()34126Dsssss041416s3312s14812-0s016s216s第一列为零(2)列写劳斯阵列表如下:系统不稳定，且有两个根具有正实部练习系统特征方程为判别系统的稳定性。432()221Dsssss0432101112212201sssss系统不稳定，且有两个根具有正实部若劳斯阵列表中某一行（设为第k行）的所有系数均为零，则说明在根平面内存在一些大小相等，并且关于原点对称的根。(3)解辅助方程，得到所有数值相同、符号相异的根。(1)用(k-1)行元素构成辅助方程，辅助方程的最高阶次为(n-k+2)，然后s的次数递降2。(2)将辅助方程对s求导，其系数作为全零行的元素，继续完成劳斯表。(2)列写劳斯阵列表如下:解：(1)特征方程的所有系数均为正实数例系统特征方程为65432()2812201616Dsssssss0判别系统的稳定性。300s3824s183s016s521216s6182016s421216s42()21216Fsss2616s解辅助方程得:1,22sj3,42sj例系统特征方程为5433312ssss2+9s-40判别系统的稳定性。若不稳定，则确定具有正实部根的个数。543321013439120001218912250012sssssss42()3912Fsss543238ssss2+6s-40练习系统特征方程为543321013426800081238100038sssssss42()268Fsss设一单位反馈控制系统如图所示，求使系统稳定的k的范围1s)(sC)(sR(1)(5)kss()()()(1)()CsKsRssssK5320sssK65解(1)系统的传递函数为：特征方程为：(2)列劳斯阵列表系数都为正实数315s26ks130-k6s0ks315s130-k6s0ks26ks(2)列劳斯阵列表0K30,其稳定的临界值为30。若要使系统稳定，其充要条件是劳斯阵列表的第一列均为正数，即K0，30-K0432()210100DsssTss0按稳定要求确定T的临界值。解劳斯阵列表为3210s110T-250T-5s0100s41T100s2T-5100s0TT10250550,T即必须T25系统才能稳定。例11系统特征方程式为乃奎斯特稳定性判据（预备知识）时域判据的弱点：工程设计中，组成系统的各种参数尚未最后确定，时域判据不能应用；时域判据仅能判断系统是否稳定，不能说明系统稳定或不稳定的程度，因而不能提出改善系统性能的具体途径。Nyquist判据特点：①图解法：由几何作图判定系统稳定性；②由开环特性判断闭环系统稳定性（开环特性由分析法或实验法获得）；③可判断系统相对稳定性；④可指出各环节对系统稳定性的影响。5.3Nyquist稳定判据一、幅角原理（Cauchy）对于复变函数)ps()ps)(ps()zs()zs)(zs(k)s(Fnm2121如果函数f（Z）在Z0及Z0的邻域内处处可导，那么称f（Z）在Z0解析。如果在区域D内每一点解析，那么称f（Z）在D内解析或称f（Z）是D内的一个解析函数。如果f（Z）在Z0不解析，那么称Z0为f（Z）的奇点。设F(s)在[s]平面上（除有限个奇点外）为单值的连续正则函数。设[s]平面上解析点s映射到[F(s)]平面上为点F(s)，或为从原点指向此映射点的向量F(s)。在[s]平面上任意选定一封闭曲线Ls，只要此曲线不经过F(s)的奇点，则在[F(s)]平面上必有一对应的映射曲线LF，也是一封闭曲线。当解析点s按顺时针方向沿Ls变化一周时，向量F(s)将按顺时针方向旋转N周，即F(s)以原点为中心顺时针旋转N周，这就等于曲线LF顺时针包围原点N次。•令：Z为包围于Ls内的F(s)的零点数，P为包围于Ls内的F(s)的极点数，则N=Z-P•向量F(s)的相位为•假设Ls内只包围了F(s)的一个零点zi，其他零极点均位于Ls之外，当s沿Ls顺时针方向移动一周时，向量(s-zi)的相位角变化-2π弧度，而其他各向量的相位角变化为零。即向量F(s)的相位角变化为-2π，或者说F(s)在[F(s)]平面上沿LF绕原点顺时针转了一周。njmipjszissF11)()()(•若[s]平面上的封闭曲线包围着F(s)的Z个零点，则在[F(s)]平面上的映射曲线LF将绕原点顺时针转Z周。•若[s]平面上的封闭曲线包围着F(s)的P个极点，则在[F(s)]平面上的映射曲线LF将绕原点逆时针转P周。•若Ls包围着F(s)的Z个零点和P个极点，则在[F(s)]平面上的映射曲线LF将绕原点顺时针转N=Z-P圈。二、Nyquist稳定判据设系统的开环传递函数为：)(..........)).....()(().....()(()()()(2121mnpspspszszszsKsHsGsGnmK）系统的闭环传递函数)()(1)()(sHsGsGsGB特征方程为：0)()(1sHsG)()(1)(sHsGsF).(....................)).....()(()).....()(()).....()(().....()(()).....()(()('2121212121'nnpspspssssssspspspszszszsKpspspssFnnnmn）F(s)的零点s1,s2…..,sn’即为系统闭环传递函数GB(s)的极点，亦即系统特征方程的根；F(s)的极点p1,p2…..,pn即为系统开环传递函数GK(s)的极点。闭环传递函数开环传递函数GB(s)F(s)GK(s)零点极点零点极点零点极点相同相同•定常线性系统稳定的充要条件：其闭环系统的特征方程1+G(s)H(s)=0的全部根具有负实部，即GB(s)在[s]平面的右半平面没有极点，亦即F(s)在[s]平面的右半平面没有零点。Nyquist稳定判据首先选择一条包围整个[s]右半平面的封闭曲线Ls。设)()(1)(sHsGsF在[s]右半平面有Z个零点和P个极点，由幅角原理知，当s沿[s]平面上的Nyquist轨迹移动一周时，在[