第03章 可靠性设计-2

第3章可靠性设计(2)ⅢReliabilityDesign3.4机械强度可靠性设计在常规的机械设计中，经常用安全系数来判断零部件的安全性，即[]cnns（3-42）式中，c为材料的强度；s为零件薄弱处的应力；[n]为许用安全系数。这种安全系数设计法虽然简单、方便，并具有一定的工程实践依据等特点，但没有考虑材料强度c和应力s它们各自的分散性，以及许用安全系数[n]的确定具有较大的经验性和盲目性，这就使得即使安全系数n大于1的情况下，机械零部件仍有可能失效，或者因安全系数n取得过大，造成产品的笨重和浪费。（2）零件的强度参量c也是一个随机变量，设其概率密度函数为f(c)。零件的强度包括材料本身的强度，如抗拉强度、屈服强度、疲劳强度等机械性能，以及包括考虑零部件尺寸、表面加工情况、结构形状和工作环境等在内的影响强度的各种因素，它们都不是一个定值，有各自的概率分布。机械可靠性设计和机械常规设计方法的主要区别在于，它把一切设计参数都视为随机变量，其主要表现在如下两方面：（1）零部件上的设计应力s是一个随机变量，其遵循某一分布规律，设应力的概率密度函数为g(s)。在此与应力有关的参数如载荷、零件的尺寸以及各种影响因素等都是属于随机变量，它们都是服从各自的特定分布规律，并经分布间的运算可以求得相应的应力分布。如果已知应力和强度分布，就可以应用概率统计的理论，将这两个分布联结起来，进行机械强度可靠性设计。同样，对于零件的强度分布也可以由各随机变量分布间的运算获得。设计时，应根据应力-强度的干涉理论，严格控制失效概率，以满设计要求。整个设计过程可用图3-10表示。图3-10可靠性设计的过程3.4.1应力-强度分布干涉理论机械零部件的可靠性设计，是以应力-强度分布的干涉理论为基础的。下面先介绍这一理论的原理，然后再介绍机械零件强度的可靠性设计方法。()()[]RtPcsR在可靠性设计中，由于强度c和应力s都是随机变量，因此，一个零件是否安全可靠，就以强度c大于应力s的概率大小来判定。这一设计准则可表示为式中，[R]为设计要求的可靠度。（3-43）现设应力s和强度c各服从某种分布，并以g(s)和f(c)分别表示应力和强度的概率密度函数。对于按强度条件式(3-42)设计出的属于安全的零件或构件，具有如图3-11所示的几种强度-应力关系。（1）情况一g(s)和f(c)分布曲线不发生干涉如图3-11(a)所示，应力s与强度c的概率分布曲线g(s)和f(c)不发生干涉，且最大可能的工作应力都要小于最小可能的极限应力（即强度的下限值）。这时，工作应力大于零件强度是不可能事件，即工作应力大于零件强度的概率等于零，即maxsmincP(sc)＝0具有这样的应力-强度关系的机械零件是安全的，不会发生故障。g(s)f(c)f(c)g(s)0μsμcc,s图3-11(a)此时的可靠度，即强度大于应力(cs)的概率为：()1RPcs（2）情况二g(s)和f(c)分布曲线发生干涉如图3-11(b)所示，应力s与强度c的概率分布曲线g(s)和f(c)发生干涉。此时，虽然工作应力的平均值μs仍远小于极限应力（强度）的平均值μc，但不能绝对保证工作应力在任何情况下都不大于极限应力，即工作应力大于零件强度的概率大于零：P(sc)0μs图3-11(b)干涉区μcc,sf(c)g(s)0f(c)g(s)（3）情况三g(s)和f(c)分布曲线不发生干涉如图3-11(c)所示，g(s)和f(c)分布曲线不发生干涉，且最小工作应力都超过零件的最大强度，在该情况下零件将会发生故障或失效。此时，即应力大于强度的全部概率则为失效概率（即不可靠度）F(t)，以下式表示：F(t)＝P(sc)＝P[(c－s)0]f(c)g(s)μsμcf(c)g(s)0c,s图3-11(c)此时，可靠度R=P(cs)=0，这意味着产品一经使用就会失效。综上所述，在上述三种情况中：图3-11(a)所示的情况：虽然安全可靠，但设计的机械产品必然十分庞大和笨重，价格也会很高，一般只是对于特别重要的零部件才会采用。图3-11(c)所示的情况：显然是不可取的，因为产品一经使用就会失效，这是产品设计必须避免的。而图3-11(b)所示的情况：若使其在使用中的失效概率限制在某一合理的、相当小的数值，这样既保证了产品价格的低廉，同时也能满足一定的可靠性要求。这种强度-应力发生干涉的情况，不仅是产品设计所需要的，同时也是图3-11(a)所示情况的必然发展，如图3-11(d)所示。图3-11(d)强度-应力关系g(s)衰减退化曲线f(c)c,s干涉区t0μsμcf(c)g(s)baμc综上所述，可靠性设计使应力、强度和可靠度三者建立了联系，而应力和强度分布之间的干涉程度，决定了零部件的可靠度。为了确定零件的实际安全程度，应先根据试验及相应的理论分析，找出f(c)及g(s)。然后应用概率论及数理统计理论来计算零件失效的概率，从而求得零件不失效的概率，即零件强度的可靠度。对于图3-11(b)所示的应力-强度关系，当f(c)及g(s)已知时，可用下列两种方法来计算零件的失效概率。概率密度函数联合积分法强度差概率密度函数积分法1.概率密度函数联合积分法为了计算零件的失效概率及可靠度，可把图3-11(b)中所示的干涉部分放大表示为图3-12。c,sf(c)g(s)f(c)g(s)0sdsaa△图3-12强度失效概率计算原理图在机械零件的危险断面上，当零件材料的强度值c小于零件工作应力值s时，零件将发生强度失效；反之，则不会发生失效。因此，零件失效的概率为：P(cs)。上图3-12列示了零件强度破坏概率计算原理图。由上图可知，零件的强度值c小于应力值s的概率等于曲线f(c)以下，a-a线以左（即变量c小于s时）的面积△，即0()()()sFsPcsfcdc即：△表示零件的强度c值小于s的概率。（3-44）同时，曲线g(s)下，工作应力值s落于宽度为ds的小区间内的概率等于该小区间所决定的单元面积g(s)·ds，即()()22dsdsPsssgsds它代表了零件工作应力s处于s+ds之间的概率。由于零件的强度和工作应力是两个相互独立的随机变量，根据概率乘法定律：两独立事件同时发生的概率是两事件单独发生的概率的乘积，即()()()PABPAPB所以，乘积F(s)·g(s)ds即为对于确定的s值时，零件中的工作应力刚刚大于强度值c的概率。把应力s值在它一切可能值的范围内进行积分，即得零件的失效概率P(cs)的值为000()()()[()]()sPcsFsgsdsfcdcgsds（3-45）上式即为在已知零件强度和应力的概率密度函数f(c)及g(s)后，计算零件失效概率的一般方程。2.强度差概率密度函数积分法ZcsZZ(0)PZ0(0)()PZPZdZ令强度差（3-46）（3-47）由于c和s均为随机变量，所以强度差也为一随机变量。零件的失效概率很显然等于随机变量小于零的概率，即。从已求得的f(c)及g(s)可找到的概率密度函数，从而可按下式求得零件的失效概率为(0)PZZcsZZ22zcszcs由概率论可知，当c和s均为正态分布的随机变量时，其差也为一正态分布的随机变量，其数学期望及均方差分别为（3-48）()PZ21()21()2zzzzPZe的概率密度函数为将式(3-49)代入式(3-47)，即可求得零件的失效概率为（3-49）Z21()021(0)2zzzzPZedz（3-50）zzZt为了便于计算，现作变量代换，令221(0)()2zztzzPZPtedt则式(3-50)变为：（3-51）ZRZZ如令，，则上式(3-51)为221(0)()2RtzRPZPtZedt为了便于实际应用，将式(3-52)的积分值制成正态分布积分表，在计算时可直接查用。（3-52）3.4.2零件强度可靠度的计算22022111(0)122RRttzzRPZedtedt在求得了零件强度的失效慨率后，零件的强度可靠性以可靠度R来量度。在正态分布条件下，R按下式计算：（3-53）例3-6某螺栓中所受的应力s和螺栓材料的疲劳强度c均为正态分布的随机变量，其μs＝350MPa，σs＝28MPa，μc＝420MPa，σc＝28MPa。试求该零件的失效概率及强度可靠度。解：根据强度差概率密度函数积分法，由式(3-48)计算，得42035070(MPa)zcs2222(28)(28)39.6(MPa)zcs''701.7739.6ZRZZ查表3-1，对应于的表值为0.0384，即2'21(0)()20.03843.84(%)RtZRPZPtZedt'1(0)10.03840.961696.16(%)RPZ即该螺栓的失效概率为3.84％，其可靠度为96.16％。则1.77RZ3.4.3零件强度分布规律及分布参数的确定大量统计资料表明，零件材料强度c分布规律一般都较好地服从正态分布。其概率密度函数为：(,)ccN211()exp22ccccfc（3-54）强度c的分布参数（数学期望与均方差）较精确的确定方法是，根据大量零件样本试验数据，应用数理统计方法，按下列公式计算：cc12111()1nciincicicncn(3-55)但在大多数情况下，这样的数据是难于取得的。为了实用起见，可采用如下近似计算公式确定：（１）对静强计算对塑性材料：12120.10.1()csccs（3-58）对脆性材料：12120.10.1()cbccb（3-59）式中，为按拉伸获得的机械特性转为弯曲或扭转特性的转化系数。12为考虑零件锻(轧)或铸的制造质量影响系数，对锻件和轧件可取＝1.1；对铸件可取＝1.3。22为零件材料的屈服极限。为零件材料的强度极限。bs（２）对疲劳强度计算112()2()cckk（3-60）式中，为材料样本试件对称循环疲劳极限的数学期望；为材料样本试件对称循环疲劳极限的均方差。为疲劳极限修正系数，按表3-2所列公式计算。1()1()2k3.4.4零件工作应力分布规律及分布参数的确定机械零件危险截面上的工作应力s是零件工作载荷P及零件截面尺寸A的函数。由于这两个参量都是服从一定分布规律的随机变量，因而零件截面上的工作应力也是随机变量，也服从于一定的分布状态。(,)ssN211()exp22ssssgs（3-61）在零件强度问题中，很多实际问题均可用正态分布来表达。因而，一般可将零件工作应力s视为服从正态分布，其概率密度函数为：工作应力的分布参数，应按各类机械的大量载荷或应力实测资料，应用数理统计方法，按下列公式计算：(,)ss12111()1nsiinsisisnsn（3-62）目前，由于我国在这方面的实测资料较少，因而难以提出确切数据，为实用起见，故可按下列近似计算法来确定：IIsssksssk对静强度计算：对疲劳强度计算：（3-64）（3-63）式中，根据工作状态的正常载荷(或称第Ⅰ类载荷)及最大载荷(或称第Ⅱ类载荷)，按常规应力计算方法算得的零件危险截面上的等效工作应力和最大工作应力；工作应力的变差系数，应按实测应力试验数据统计得出，也可按下式作出近似计算：III,k2()iiikPkP（3-65）式中