理论力学摩擦

12第四章摩擦静力学第四章摩擦前几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽略了物体之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存在的，一般情况下都存在有摩擦。当物体的接触表面确实比较光滑，或有良好的润滑条件，以致摩擦力与物体所受其它力相比的确很小时，可以忽略。然而，在很多日常生活和工程实际问题中，摩擦成为主要因素，摩擦力不仅不能忽略，而且还应作为重点来研究。由于摩擦是一种十分复杂的物理现象，涉及面广，本章只限于讨论工程中常用的近似理论，主要介绍滑动摩擦和滚动摩阻定律，重点研究有摩擦存在时物体的平衡问题。3(a)(b)静力学第四章摩擦定义：两个相接触物体，当其接触处产生相对滑动或相对滑动趋势时，其接触处产生的阻碍物体相对滑动的力叫滑动摩擦力。摩擦力作用于相互接触处，其方向与相对滑动的趋势或相对滑动的方向相反，它的大小根据主动力作用的不同，可以分为三种情况，即静滑动摩擦力，最大静滑动摩擦力和动滑动摩擦力。若仅有滑动趋势而没有滑动时产生的摩擦力称为静滑动摩擦力；若存在相对滑动时产生的摩擦力称为动滑动摩擦力。§4-1滑动摩擦41.静滑动摩擦力及最大静滑动摩擦力如图(a)所示，在粗糙的水平面上放置一重为P的物体，当水平方向无拉力时，显然有P=FN。现在该物体上作用一大小可变化的水平拉力F，如图(b)所示，当拉力F由零逐渐增加但又不很大时，物体仍能维持平衡。(a)(b)静力学第四章摩擦5(a)(b)由此可见，支承面对物体的约束力除了法向约束力FN外还有一个阻碍物体沿水平面向右滑动的切向约束力Fs，此力即静滑动摩擦力，简称静摩擦力。显然有Fs=F，因此静摩擦力也是约束力，随着F的增大而增大。然而，它并不能随F的增大而无限地增大。而有一个最大值Fmax，称为最大静摩擦力，此时物体处于平衡的临界状态。当主动力F大于Fmax时，物体将失去平衡而滑动。即静力学第四章摩擦maxs0FF6静力学第四章摩擦实验表明NsmaxFfF上式称为库仑摩擦定律，是计算最大静摩擦力的近似公式。式中fs称为静摩擦因数，它是一个无量纲的量。一般由实验来确定。2.动滑动摩擦力当接触处出现相对滑动时，接触物体之间仍有阻碍相对滑动的阻力，这种阻力称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力，以Fd表示，大小可用下式计算。NddFfF式中fd是动摩擦因数，通常情况下，sdff7静力学第四章摩擦§4-2摩擦角和自锁现象1.摩擦角当有摩擦时，支承面对物体的约束力有法向约束力FN和切向约束力Fs，这两个力的合力称为全约束力FR。SNRFFF它的作用线与接触处的公法线成一偏角j,如图所示，当静摩擦力达最大时，j也达到最大值jf,称jf为摩擦角。sNmaxtanfFFfj8当物块的滑动趋势方向改变时，全约束反力作用线的方位也随之改变；在临界状态下，R的作用线将画出一个以接触点A为顶点的锥面，称为摩擦锥。设物块与支承面间沿任何方向的摩擦系数都相同，即摩擦角都相等，则摩擦锥将是一个顶角为2jf的圆锥。静力学第四章摩擦9物块平衡时，静摩擦力不一定达到最大值，可在零与最大值Fmax之间变化，所以全约束反力与法线间的夹角j也在零与摩擦角jf之间变化，即由于静摩擦力不可能超过最大值，因此全约束反力的作用线也不可能超出摩擦角以外，即全约束反力必在摩擦角之内。f0jjNFmaxRjjf2.自锁现象静力学第四章摩擦10qjfjfjfRRAAj(1)如果作用于物块的全部主动力的合力R的作用线在摩擦角jf之内，则无论这个力怎样大，物块必保持静止。这种现象称为自锁现象。因为在这种情况下，主动力的合力R与法线间的夹角qjf，因此，R和全约束反力FRA必能满足二力平衡条件，且qjjf。静力学第四章摩擦11qjfjfjfRRAAj(2)如果全部主动力的合力R的作用线在摩擦角j之外，则无论这个力怎样小，物块一定会滑动。因为在这种情况下，qjf，而jjf，支承面的全约束反力RA和主动力的合力R不能满足二力平衡条件。应用这个道理，可以设法避免发生自锁现象。静力学第四章摩擦12利用摩擦角的概念，可用简单的试验方法测定摩擦因数。摩擦角就是物块处于临界状态时斜面的倾角q,即qjtantanfsf静力学第四章摩擦13斜面的自锁条件是斜面的倾角小于或等于摩擦角。斜面的自锁条件就是螺纹的自锁条件。因为螺纹可以看成为绕在一圆柱体上的斜面，螺纹升角a就是斜面的倾角。螺母相当于斜面上的滑块A，加于螺母的轴向载荷P，相当物块A的重力，要使螺纹自锁，必须使螺纹的升角a小于或等于摩擦角jm。因此螺纹的自锁条件是faj静力学第四章摩擦14静力学第四章摩擦§4-3考虑摩擦时物体的平衡问题考虑有摩擦的平衡问题时，其解法与前几章基本一样。但需指出的是，在受力分析和列平衡方程时要将摩擦力考虑在内，因而除平衡方程外，还需增加补充方程0FsfsFN，因此有摩擦的平衡问题的解通常是一个范围。为了避免解不等式，往往先考虑临界状态（Fs=fsFN），求得结果后再讨论解的平衡范围。应该强调的是摩擦力的方向在临界状态下不能假设，要根据物体相对运动趋势来判断，只有摩擦力是待求未知数时，可以假设其方向。求解时，根据具体的问题采用解析法或几何法求解，下面举例说明15,0xF0cossFFq,0yF0sinNqFPF取物块A为研究对象，受力分析如图。列平衡方程。解:例题4-1静力学第四章摩擦qAF联立求解得N46.330cos4sFN6.3sinsNsmaxqFPfFfF最大静摩擦力N46.3sF所以作用在物体上的摩擦力为maxsFF因为小物体A重P=10N，放在粗糙的水平固定面上，它与固定面之间的静摩擦因数fs=0.3。今在小物体A上施加F=4N的力，q=30°，试求作用在物体上的摩擦力。yAxqPFFNFs16(a)构件A及B用楔块C联结，如图(a)所示，楔块自重不计，。已知楔块与构件间的摩擦系数fs=0.1,求能自锁的倾斜角q。解：(1)解析法研究楔块C，受力如图(b)，考虑临界平衡0sincos,0N2s1N1FFFqqxF例题4-2静力学第四章摩擦0cossin,0s2s1N1FFFqqyF再考虑补充方程,N2ss2N1ss1FfFFfF联立解之得11.42,2tan12tanf2ssqjqff(b)21FF17(c)静力学第四章摩擦fff2,jqjjq(2)几何法仍考虑临界平衡状态,在此情况下,楔块C两端所受的全约束力必大小相等,方向相反且作用线在一条直线上;与作用点处的法线的夹角均等于摩擦角jf如图(c)所示。由几何关系不难得42.11271.51.0tg,1.0tgf1fsfjqjjf以上是考虑临界状态所得结果，稍作分析即可得时能自锁当42.1120fjq例题4-218静力学第四章摩擦例题4-3FAFNBFBFNAABCFxxyhOFBhdBAFx,0xF0NNBAFF,0yF0FFFBA平衡方程为,0)(FOM0)(2NxFFFdhFBAA取支架为研究对象,受力分析如图。（1）解析法解:一活动支架套在固定圆柱的外表面，且h=20cm。假设支架和圆柱之间的静摩擦因数fs=0.25。问作用于支架的主动力F的作用线距圆柱中心线至少多远才能使支架不致下滑（支架自重不计）。19联立求解得,2NNFFFBAcm40xBBAAFfFFfFNsNs,补充方程静力学第四章摩擦例题4-321hhhfftan)2(tan)2(jjdxdx解得cm40tan2fjhx（2）几何法由以上二个例子可以看出，当有摩擦处的约束力以全约束力形式给出，如能利用二力平衡条件和三力平衡汇交定理且几何关系又较简单，用几何法往往较方便。支架受力分析如图所示。由几何关系得20hCabFP宽a，高b的矩形柜放置在水平面上，柜重P，重心C在其几何中心，柜与地面间的静摩擦因数是fs，在柜的侧面施加水平向右的力F，求柜发生运动时所需推力F的最小值。静力学第四章摩擦例题4-421yABCxFPFBFAFNBFNA1.假设不翻倒但即将滑动，考虑临界平衡。解:取矩形柜为研究对象,受力分析如图。联立求解得柜子开始滑动所需的最小推力s1minPfFFBBAAFfFFfFNsNs,补充方程0BAFFF0NNPFFBA,0xF,0yF列平衡方程静力学第四章摩擦例题4-4222.假设矩形柜不滑动但将绕B翻倒。柜绕B翻倒条件：FNA=0bPaFF2min2使柜翻倒的最小推力为,0BM02NaFFhaPA列平衡方程ABCxFPFBFAFNBFNA解得hPaF2静力学第四章摩擦例题4-4综上所述使柜发生运动所需的最小推力为),min(2min1minFF23长为l的梯子AB一端靠在墙壁上，另一端搁在地板上，如图所示。假设梯子与墙壁的接触是完全光滑的，梯子与地板之间有摩擦，其静摩擦因数为fs。梯子的重量略去不计。今有一重为P的人沿梯子向上爬，如果保证人爬到顶端而梯子不致下滑，求梯子与墙壁的夹角q。qlaABP静力学第四章摩擦例题4-524以梯子AB为研究对象，人的位置用距离a表示，梯子的受力如图。解：使梯子保持静止，必须满足下列平衡方程：,0xF0sNFFB,0yF0NPFA,0FAM0cossinNqqlFPaByqlaABxFsFNAPFNBAFfFNss同时满足物理条件stanflaq静力学第四章摩擦例题4-5联立解之得因0≤a≤l，当a=l时，上式左边达到最大值。所以fstantanjqf或fjq即为所求25重为P=100N的匀质滚轮夹在无重杆AB和水平面之间，在杆端B作用一垂直于AB的力FB，其大小为FB=50N。A为光滑铰链，轮与杆间的摩擦因数为fs1=0.4。轮半径为r，杆长为l，当q=60°时，AC=CB=0.5l，如图所示。如要维持系统平衡，（1）若D处静摩擦因数fs2=0.3，求此时作用于轮心O处水平推力F的最小值;（2）若fs2=0.15,此时F的最小值又为多少？ABCDOrqPFFB静力学第四章摩擦例题4-626解：此题在C，D两处都有摩擦，两个摩擦力之中只要有一个达到最大值，系统即处于临界状态。假设C处的摩擦先达到最大值，轮有水平向右滚动的趋势。静力学第四章摩擦例题4-6ABCFAxFAyFCFNCFBq1.以杆AB为研究对象，受力分析如图。N40,N100NCCFF解得02,0NlFlFMBCAF列平衡方程N1smaxCCCFfFF补充方程27静力学第四章摩擦例题4-62.以轮为研究对象，列平衡方程。0,0060sin60cos,0060cos60sin,0NNNrFrFMFFPFFFFFFFDCODCCyDCCxFDOCFNDFDPFCFCFNqN39.55N2smaxDDFfF当fs2=0.3时，D处最大摩擦力为,maxDDFF由于故D处无滑动所以维持系统平衡的最小水平推力为F=26.6N。代入上面各式解得F=26.6N，FND=184.6NN40,N100NNCCCCFFFF将N40DF28解方程得DDCFfFFN2sN86.2560sin160cos2sN2sfGFfFFCCD最小水平推力为N81.4760cos160sinNDCFFFDDDFfFFN2smax受力图不变，补充方程应改为N40N1smaxCCFfF此时C处最大摩擦力为因此当fs2=0.15时，维持系统平衡的最小水平推力改为N81.47F所以C处无滑动。,maxCCFF由于说明前面假定不成立，D处应先达到临界状态。maxDDFF3.当fs2=0.15时,N7.27Ns2maxDDFfF静力学第四章摩擦例题4-629静力学第四章摩擦由实践可知，使滚子滚动比使它滑动省力，如果仍用下图的力学模