2012年浙江省高考数学(文科)试卷-附详解

2012年浙江省高考数学（文科）试卷选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集{1,2,3,4,5,6}U，设集合{1,2,3,4},{3,4,5}PQ，则UPCQA．{1,2,3,4,6}B．{1,2,3,4,5}C．{1,2,5}D．{1,2}【答案】D【解析】{1,2,3,4}{1,2}{1,2}UPCQ，故选D。2.已知i是虚数单位，则31iiA．12iB．2iC．2iD．12i【答案】D【解析】3(3)(1)24121(1)(1)2iiiiiiii。3．已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是A．1cm³B．2cm³C．3cm³D．6cm³【答案】A【解析】由三视图可知，该棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为1和2，三棱锥的高为3，则11312132V，故选A。4．设aR，则“1a”是“直线1:210laxy与直线2:240lxy平行的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】12//21201llaa，故1a是两直线平行的充分必要条件，故选C。5．设l是直线，,是两个不同的平面A．若//,//ll，则//B．若//,ll，则C．若,l，则lD．若,//l，则l【答案】B【解析】//,//ll，则,可能平行也可能相交，A不正确；,l，则l或l，C不正确；,//l，则,l可能相交或平行，D不正确，故选B。6.把函数cos21yx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是【答案】A【解析】cos21cos1cos(1)1cos(1)yxyxyxyx，故选A。7．设a，b是两个非零向量A．若||||||abab，则abB．若ab，则||||||ababC．若||||||abab，则存在实数，使得baD．若存在实数，使得ba，则||||||abab【答案】C【解析】2222||||||||2||||2||||||ababaabbaabb，则||||0abab，所以,ab不垂直，A不正确，同理B也不正确；||||abab，则cos,1ab，所以,ab共线，故存在实数，使得ba，C正确；若ba，则1，此时||2|0||||aba|ab，所以D不正确。8．如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，,MN是双曲线的两顶点。若,,MON将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A．3B．2C．3D．2【答案】B【解析】设双曲线和椭圆的方程分别为2222111xyab，2222221xyab，则12cc。依题意可得，212aa，所以121212::2cceeaa。9．若正数,xy满足35xyxy，则34xy的最小值是A.245B．285C．5D．6【答案】C【解析】因为,xy都是正数，所以1335155xyxyyx，所以13312133121334(34)()2555555555xyxyxyxyyxyxyx当且仅当31255xyyx即2xy时取等号。10．设0,0,abe是自然对数的底数A．若23abeaeb，则abB．若23abeaeb，则abC．若23abeaeb，则abD.若23abeaeb，则ab【答案】A【解析】记()22,()22xxfxxgxx，则'()2ln220xfx，'()2ln22xgx当2lnln2x时'()0gx，当20lnln2x时'()0gx。222322abbabb，则有ab。222322abbabb，此时无法确定大小关系，故选A。非选择题部分（共100分）二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分。11．某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为____________.【答案】160【解析】此样本中男生人数为560280160980。12．从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为22的概率是___________.【答案】25【解析】依题意可得，两点中其中一点必定是中心，所以142525CPC。13．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是________.【答案】1120【解析】第一次运行：1,2Ti；第二次运行：1,32Ti；第三次运行：1,46Ti；第四次运行：1,524Ti；第五次运行：1,65120Ti，故输出值为1120。14．设2zxy，其中实数,xy满足102000xyxyxy，则z的取值范围是_________.【答案】7[0,]2【解析】满足条件的,xy的可行域如图所示，则目标函数2zxy在点13(,)22处取到最大值72，在点(0,0)处取到最小值0，所以z的取值范围是7[0,]2。15．在ABC中，M是BC的中点，3,10AMBC，则ABAC________.【答案】-16【解析】依题意可得，5BMCM。由余弦定理可得，222222cos,cos22AMBMABAMCMACAMBAMCAMBMAMCM，因为AMBAMC，所以22222222AMBMABAMCMACAMBMAMCM，即222222()AMBMABAMCMAC，则有222222AMBMABAC，而2ABACAMMBAMMCAM，则2222()||||24||ABACABACABACAM，所以2224||(22)162AMAMBMABAC。16．设函数()fx是定义在R上的周期为2的偶函数，当[0,1]x时，()1fxx，则3()2f_______________.【答案】32【解析】因为()fx是偶函数，所以当[1,0]x时，[0,1]x，则()()1fxfxx。因为()fx是周期为2的周期函数，所以3113()()()12222ff。17.定义：曲线C上的点到直线的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线1C：2yxa到直线l：yx的距离等于曲线2C：22(4)2xy到直线l：yx的距离，则实数a．【答案】94【解析】曲线2C：22(4)2xy到直线l：yx的距离为圆心(0,4)到直线yx的距离减去半径，即4222。依题意可得，0a，且知曲线1C：2yxa到直线l：yx的距离等于曲线1C上切线斜率为1的切线与yx的距离。令'21yx，可得12x，所以切线斜率为1的切线方程为1124yxa，即14yxa，所以1||422a，解得94a或74a（舍）。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18.（本题满分14分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin3cosbAaB.（1）求角B的大小；（2）若3,sin2sinbCA，求,ac的值。本题主要考查正、余弦定理及三角运算等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。解：（1）由sin3cosbAaB及正弦定理sinsinabAB，得sin3cosBB所以，tan3B所以，3B（2）由sin2sinCA及sinsinacAC，得2ca由3b及余弦定理2222cosbacacB，得229acac所以3,23ac19.（本题满分14分）已知数列{}na的前n项和为nS，且22,*nSnnnN，数列{}nb满足24log3,*nnabnN。（1）求,nnab；（2）求数列{}nnab的前n项和nT.本题主要考查等差、等比数列的概念，通项公式即求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。解：（1）由22nSnn，得当1n时，113aS；当2n时，141nnnaSSn，所以41,*nannN由2414log3nnnab，得12,*nnbnN（2）由（1）知1(41)2,*nnnabnnN所以1372(41)2nnTn223272(41)2nnTn所以212(41)2[34(222)](45)25nnnnnTTnn故(45)25,*nnTnnN20.（本题满分15分）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱1111ABCDABCD中，//ADBC，,2ADABAB.12,4,2ADBCAA，E是1DD的中点，F是平面11BCE与直线1AA的交点。（1）证明：①11//EFAD；②1BA平面11BCEF；（2）求1BC与平面11BCEF所成的角的正弦值。证：（1）①因为1111//CBAD，11CB平面11ADDA，所以11//CB平面11ADDA又因为平面11BCEF平面11ADDAEF，所以11//CBEF所以11//EFAD②因为1BB平面1111ABCD，所以111BBBC又因为1111BCBA，所以11BC平面11ABBA所以111BCBA在矩形11ABBA中，F是1AA的中点，1112tantan2ABFAAB，即111ABFAAB故11BABF所以1BA平面11BCEF解：（2）设1BA与1BF交点为H，连接1CH由（1）知1BA平面11BCEF，所以1BCH是1BC与平面11BCEF所成的角在矩形11ABBA中，12,2ABAA，得46BH在直角1BHC中，1425,6BCBH，得1130sin15BHBCHBC所以1BC与平面11BCEF所成的角的正弦值是3015.21.（本题满分15分）已知aR，函数3()42fxxaxa.（1）求()fx的单调区间；（2）证明：当01x时，()|2|0fxa.本题主要考查利用导数研究函数的单调性等性质，及导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力。满分15分。解：（1）由题意得2'()122fxxa当0a时，'()0fx恒成立，此时()fx的单调递增区间为(,)当0a时，'()12()()66aafxxx此时函数()fx的单调递增区间为(,]6a和[,)6a，单调递减区间为[,]66aa（2）由于01x，故当2a时，33()|2|422442fxaxaxxx当2a时，333()|2|42(1)244(1)2442fxaxaxxxxx设3()221,01gxxxx，则233'()626()()33gxxxxxx于是x03(0,)3333(,1)31'()gx-0+()gx1单调减极小值单调增1所以，min343()()1039gxg所以当01x，32210xx故3()|2|4420fxaxx22.（本题满分14分）如图，在直角坐标系xOy中，点1(1,)2P到抛物线:2(0)CypxP的准线的距离为54。点(,1)Mt是C上的定点，,AB是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分。（1）求,pt的值。（2）求ABP面积的最大值。解：（1）由题