数学九年级(上)特殊的平行四边形习题及答案

承诺补习金老师2013年全国各地中考数学解析汇编特殊的平行四边形（2013湖南益阳，7，4分）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连结AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形【解析】从题目中（BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，）可以得到四边形ABCD的两组对边分别相等，所以得到四边形ABCD是平行四边形。【答案】A【点评】根据尺规作图得到对边相等，只要考生记住两组对边分别相等的四边形是平行四边形这一定义，就可以得到答案，难度不大。23.1矩形（2013湖北襄阳，9，3分）如图4，ABCD是正方形，G是BC上（除端点外）的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F．下列结论不一定成立的是A．△AED≌△BFAB．DE－BF＝EFC．△BGF∽△DAED．DE－BG＝FG【解析】由ABCD是正方形，得AD＝BA，∠BAD＝∠ABG＝90°，∴∠DAE＋∠BAF＝90°．又∵DE⊥AG，BF∥DE，∴BF⊥AG，∠BAF＋∠ABF＝90°．∴∠DAE＝∠ABF．而∠AED＝∠BFA＝90°，∴△AED≌△BFA．∴DE＝AF，AE＝BF．∴DE－BF＝AF－AE＝EF．由AD∥BC得∠DAE＝∠BGF及∠AED＝∠GFB＝90°，可知△BGF∽△DAE．可见A，B，C三选项均正确，只有D选项不能确定．【答案】D【点评】此题是由人教课标版数学教材八年级下册第104页的第15题改编而成，并将九年级下册第48页练习2融合进来，源于教材而又高于教材，综合考查了正方形的性质、全等三角形、相似三角形知识，是一道不可多得的基础好题．（2013山东泰安，9，3分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）A.3B.3.5C.2.5D.2.8图4ACBDEFGABCDEO【解析】设CE的长为x,因为EO垂直平分AC，所以AE=CE=x,所以ED=4-x,在Rt△CED中，由勾股定理得CD2+ED2=CE2，22+（4-x）2=x2,解得x=2.5.【答案】C.【点评】本题在矩形中综合考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识，用方程的思想解几何问题是一种行之有效的思想方法。（2013安徽，14，5分）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：①S1+S2=S3+S4②S2+S4=S1+S3③若S3=2S1，则S4=2S2④若S1=S2，则P点在矩形的对角线上其中正确的结论的序号是_________________（把所有正确结论的序号都填在横线上）.解析：过点P分别向AD、BC作垂线段，两个三角形的面积之和42SS等于矩形面积的一半，同理，过点P分别向AB、CD作垂线段，两个三角形的面积之和31SS等于矩形面积的一半.31SS=42SS,又因为21SS，则32SS=ABCDSSS2141,所以④一定成立答案：②④．点评：本题利用三角形的面积计算，能够得出②成立，要判断④成立，在这里充分利用所给条件，对等式进行变形.不要因为选出②，就认为找到答案了，对每个结论都要分析，当然感觉不一定对的，可以举反例即可.对于④这一选项容易漏选.（2013江苏盐城，15，3分）如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC，在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形为矩形，只需加上的一个条件是（填上你认为正确的一个答案即可）.【解析】本题考查了矩形的判定.掌握矩形的定义和判定方法是关键.由四边形ABCD的两组对边AB=DC，AD=BC知：四边形ABCD是平行四边形，而“有一个角是直角或对角线相等”的平行四边形的矩形，故可填的条件是：四边形ABCD内有一个直角或AC=BD.【答案】答案不唯一，如∠A=90°或AC=BD，等.【点评】本例考查平行四边形和矩形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形和矩形的判定方法，及其相互关系.（2013湖南湘潭，20，6分）如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用m25），现在已备足可以砌m50长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为2300m.【解析】要利用条件确定矩形的长和宽，设矩形的长为X，宽为x300，根据条件要求：0＜X≤25且0＜X+x600≤50，且X≥x300，从而确定20≤X≤25，再设计一种具体砌法，若X取20，则x300=15，矩形花园ABCD的BC长20米，AB长15米。若X取25，则x300=12，矩形花园ABCD的BC长25米，AB长12米。等等。【答案】设矩形的长为X，宽为x300，根据条件要求：0＜X≤25且0＜X+x600≤50，且X≥x300，从而确定20≤X≤25，再设计一种具体砌法，如，矩形花园ABCD的BC长20米，AB长15米。或矩形花园ABCD的BC长25米，AB长12米。等等。【点评】此题考查了矩形的面积和不等式的解集。根据限制条件列不等式，确定矩形的长和宽的取值范围，并由矩形面积选取矩形的长和宽的具体值。（2013浙江省绍兴，15，5分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B`处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在直线EB`与AD的交点C`处.则BC∶AB的值为▲.【解析】连接CC′，根据题意可知∠AEF=90°，又C、C′关于EF对称，所以CC′⊥EF，所以AE∥CC′，25mMABCDN又AC′∥EC，所以四边形AECC′是平行四边形，又∠B=∠AB′E=90°，所以四边形AECC′是菱形，所以∠EAC=∠ECA，又∠EAC=∠BAE，所以∠EAC=∠ECA=∠BAE=30°，在Rt△ABC中，BC：AB=3:1．【答案】3【点评】解答折叠问题的关键是利用折叠前后其中相等的边和相等的角之间的等量关系．．（2013湖南湘潭，19，6分）如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知mBC2,mCD4.5,30DCF,请你计算车位所占的宽度EF约为多少米？（73.13，结果保留两位有效数字.）EFCDAB【解析】运用直角三角形边角关系或三角函数值求出DE和DF的长。【答案】在直角三角形CDF中，30DCF,DF=21CD=2.7,∠ADE=900-∠CDF=∠DCF=300,在直角三角形ADE中，DE=ADcos∠ADE=2×23=3,FE=DF+DE=2.7+3≈4.43.【点评】此题考查了矩形和直角三角形边角关系及三角函数值的运用。23.2菱形（2013四川成都，9，3分）如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误．．的是（）A．AB∥DCB．AC=BDC．AC⊥BDD．OA=OCABCDO解析：本题考查的是菱形的性质，菱形是特殊的平行四边形，所以四边形具有的性质，菱形都有，所以选项A、D都是对的；另外菱形还有自己特殊的性质，对角线互相垂直等等，所以选项C也是对的。所以，根据排除法可知，选项B是错误。答案：选B点评：平行四边形及各种特殊的平行四边形的性质，是一个重要的考点，同学们要能结合图形熟练掌握它们的性质和判定。(2013山东省临沂市，17，3分）如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB,∠BDE=700，则∠CAD=0.【解析】∵CD与BE互相垂直平分，∴四边形BDEC是菱形，又∵AD⊥DB,∠BDE=700，∴∠ADE=200，∠DEF=550，∴∠DAE=350，∴∠CAD=700.【答案】700【点评】此题主要考查了学生对线段垂直平分线及菱形的性质和判定的理解及运用．菱形的特性是：对角线互相垂直、平分，四条边都相等．(2013山东省聊城，19，8分）矩形ABCD对角线相交与O，DE//AC，CE//BD.求证：四边形OCED是菱形.解析：可以先证四边形OCED是平行四边形，再找一组邻边相等.解：因为DE//AC，CE//BD，所以四边形OCED是平行四边形.又因为在矩形ABCD，BD、AC是对角线，所以AC=BD，OC=OD=21AC=21BD.所以四边形OCED是菱形.点评：熟练掌握菱形判断方法是解题的关键.（2013湖北襄阳，23，7分）如图10，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC与ED相交于点F．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．【解析】（1）通过证明△DEC≌△AEB，得AB＝CD．（2）运用“一组对边平行且相等的四边形是图10ACBDEF平行四边形”易发现四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形，从而有AB∥DE，然后结合菱形的性质，发现AB需与AC垂直，接着发现△ABE是等边三角形即可解决问题．【答案】解：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEC＝∠EDA，∠BEA＝∠EAD．又∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA．∴∠DEC＝∠AEB．又∵EB＝EC，∴△DEC≌△AEB．∴AB＝CD．∴梯形ABCD是等腰梯形．（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．证明：∵AD∥BC，BE＝EC＝AD，∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．∴AB＝ED．∵AB⊥AC，∴AE＝BE＝EC．∴四边形AECD是菱形．过A作AG⊥BE于点G，∵AE＝BE＝AB＝2，∴△ABE是等边三角形，∠AEB＝60°．∴AG＝3．∴S菱形AECD＝ECAG＝2×3＝23．【点评】第（1）问简单，第（2）问属于条件开放探究性问题，解答时，可以“执果索因”，从题目的结论出发逆向追索，再通过综合分析推理而获得结果．（2013浙江省温州市，19，8分）如图，△ABC中，90B，AB=6cm,BC=8cm。将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A,B,C的对应点分别是D,E,F，连结AD。求证：四边形ACFD是菱形。【解析】把握平移的特征：平移不改变图形的形状和大小，对应线段相等，平行（或在同一条直线上．菱形判定方法：邻边相等的平行四边形；四条边相等的四边形。【答案】证法一：∵∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，∴AC=10cm．由平移变换的性质得CF=AD=10cm，DF=AC，∴AD=CF=AC=DF，∴四边形ACFD是菱形．证法二：由平移变换的性质得AD∥CF，AD=CF=10cm，∴四边形ACFD是平行四边形．∵∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，∴AC=10cm．∴AC=CF，∴AD=CF=AC=DF，∴ACFD是菱形．【点评】本题考察了平移及菱形的判定方法，难度不大．（2013浙江省嘉兴市，19，8分）如图,已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连结CE.(1)求证:BD=EC;(2)若∠E=50°,求∠BAO的大小.第19题OCDBEA【解析】（1）证得四边形BECD是平行四边形即可；（2）先证∠ABO＝∠E＝50°.再证∠BAO＝90°－∠ABO＝40°.【答案】（1）∵菱形ABCD，∴AB＝CD,AB∥CD,又∵BE=AB，∴四边形BECD是平行四边形，∴BD=EC.（2）∵BECD,∴BD∥CE,∴∠ABO＝∠E＝50°.又∵菱形ABCD，∴AC⊥BD,∴∠BAO＝90°－∠ABO＝40°【点评】本题主要考查学生的逻辑推理能力，要求能灵活运用菱形的性质及平行四边形的判定、性质进行推理论证.中档题.本市若干天空气质量情况条形统计图（2013北京，19，5）如图，在四边形ABCD中，对角线ACBD，交于点E，9045302BACCEDDCEDE，，，，22BE．求CD的长和四边形ABCD的面积．【解析】利用特殊的度数解直角三角形