2012年北京市高考数学试卷(理科)

第1页（共25页）2012年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题．每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.1．已知集合320,130AxxBxxxRR，则A∩B=（）A．,1B．21,3C．2,33D．3,2．设不等式组0202xy，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A．4B．22C．6D．443．设,abR．“0a”是“复数abi是纯虚数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2B．4C．8D．165．如图，,90ACBCDAB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E．则第2页（共25页）（）A．CECBADDBB．CECBADABC．2ADABCDD．2CEEBCD6．从0,2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（）A．24B．18C．12D．67．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．2865B．3065C．56125D．601258．某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（）A．5B．7C．9D．11第3页（共25页）二.填空题共6小题．每小题5分．共30分.9．直线21xtyt（t为参数）与曲线3cos3sinxy（为参数）的交点个数为．10．已知na是等差数列，nS为其前n项和．若1231,2aSa，则2a=．11．在ABC中，若12,7,cos4abcB，则b=．12．在直角坐标系xOy中．直线l过抛物线24yx的焦点F．且与该抛物线相交于A、B两点．其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60．则OAF的面积为．13．己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则DECB的值为．14．已知23,()22xfxmxmxmgx,若同时满足条件：①,()0xfxR或()0gx；②,4,()()0xfxgx．则m的取值范围是．三、解答题公6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数sincossin2()sinxxxfxx.（1）求fx的定义域及最小正周期；（2）求fx的单调递增区间．16．如图1，在RtABC中，90C，3,6BCAC，,DE分别是,ACAB上的点，且DE∥,2BCDE，将ADE沿DE折起到1ADE的位置，使1ACCD，如图2．（1）求证：1AC⊥平面BCDE；第4页（共25页）（2）若M是1AD的中点，求CM与平面1ABE所成角的大小；（3）线段BC上是否存在点P，使平面1ADP与平面1ABE垂直？说明理由．17．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,abc，其中0,600aabc．当数据,,abc的方差2s最大时，写出,,abc的值（结论不要求证明），并求此时2s的值．（求：2222121nSxxxxxxn，其中x为数据12,,,nxxx的平均数）第5页（共25页）18．已知函数23()10,fxaxagxxbx.（1）若曲线yfx与曲线ygx在它们的交点1,c处具有公共切线，求,ab的值；（2）当24ab时，求函数fxgx的单调区间，并求其在区间,1上的最大值．第6页（共25页）19．已知曲线22:528CmxmymR（1）若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；（2）设4m，曲线C与y轴的交点为,AB（点A位于点B的上方），直线4ykx与曲线C交于不同的两点,MN，直线1y与直线BM交于点G．求证：,,AGN三点共线．第7页（共25页）20．设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s（m，n）为所有这样的数表构成的集合．对于A∈S（m，n），记ri（A）为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），Cj（A）为A的第j列各数之和（1≤j≤n）；记K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，…，|Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，…，|Cn（A）|中的最小值．（1）如表A，求K（A）的值；11﹣0.80.1﹣0.3﹣1（2）设数表A∈S（2，3）形如11cab﹣1求K（A）的最大值；（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2，2t+1），求K（A）的最大值．第8页（共25页）2012年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题．每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.1．（2012•北京）已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，）C．﹙，3﹚D．（3，+∞）【分析】求出集合B，然后直接求解A∩B．【解答】解：因为B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0﹜={x|x＜﹣1或x＞3}，又集合A={x∈R|3x+2＞0﹜={x|x}，所以A∩B={x|x}∩{x|x＜﹣1或x＞3}={x|x＞3}，故选：D．2．（2012•北京）设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A．B．C．D．【分析】本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可．【解答】解：其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形，面积为S1=4，满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心，以2为半径的圆外部，面积为=4﹣π，∴在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率P=故选：D．第9页（共25页）3．（2012•北京）设a，b∈R．“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用前后两者的因果关系，即可判断充要条件．【解答】解：因为a，b∈R．“a=O”时“复数a+bi不一定是纯虚数”．“复数a+bi是纯虚数”则“a=0”一定成立．所以a，b∈R．“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件．故选B．4．（2012•北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2B．4C．8D．16【分析】列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．第10页（共25页）【解答】解：第1次判断后S=1，k=1，第2次判断后S=2，k=2，第3次判断后S=8，k=3，第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8．故选C．5．（2012•北京）如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E．则（）A．CE•CB=AD•DBB．CE•CB=AD•ABC．AD•AB=CD2D．CE•EB=CD2【分析】连接DE，以BD为直径的圆与BC交于点E，DE⊥BE，由∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，△ACD∽△CBD，由此利用三角形相似和切割线定理，能够推导出CE•CB=AD•BD．【解答】解：连接DE，∵以BD为直径的圆与BC交于点E，∴DE⊥BE，∵∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∴△ACD∽△CBD，∴，∴CD2=AD•BD．∵CD2=CE•CB，∴CE•CB=AD•BD，故选A．第11页（共25页）6．（2012•北京）从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（）A．24B．18C．12D．6【分析】分类讨论：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位；从0、2中选一个数字2，则2排在十位或百位，由此可得结论．【解答】解：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有=6种；从0、2中选一个数字2，则2排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有=6种；2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有=6种；故共有3=18种故选B．7．（2012•北京）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．28+6B．30+6C．56+12D．60+12【分析】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，第12页（共25页）一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，所以S底==10，S后=，S右==10，S左==6．几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6．故选：B．8．（2012•北京）某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（）A．5B．7C．9D．11【分析】由已知中图象表示某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系，可分析出平均产量的几何意义为原点与该点边线的斜率，结合图象可得答案．【解答】解：若果树前n年的总产量S与n在图中对应P（S，n）点则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率由图易得当n=9时，直线OP的斜率最大第13页（共25页）即前9年的年平均产量最高，故选C二.填空题共6小题．每小题5分．共30分.9．（2012•北京）直线（t为参数）与曲线（α为参数）的交点个数为2．【分析】将参数方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离与半径比较，即可得到结论．【解答】解：直线（t为参数）化为普通方程为x+y﹣1=0曲线（α为参数）化为普通方程为x2+y2=9∵圆心（0，0）到直线x+y﹣1=0的距离为d=∴直线与圆有两个交点故答案为：210．（2012•北京）已知﹛an﹜是等差数列，sn为其前n项和．若a1=，s2=a3，则a2=1．【分析】由﹛an﹜是等差数列，a1=，S2=a3，知=，解得d=，由此能求出a2．【解答】解：∵﹛an﹜是等差数列，a1=，S2=a3，∴=，解得d=，a2==1．故答案为：1．第14页（共25页）11．（2012•北京）在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b=4．【分析】根据a=2，b+c=7，cosB=﹣，利用余弦定理可得，即可求得b的值．【解答】解：由题意，∵a=2，b+c=7，cosB=﹣，∴∴b=4故答案为：412．（2012•北京）在直角坐标系xOy中．直线l过抛物线y2=4x的焦点F．且与该抛物线相交于A、B两点．其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°．则△OAF的面积为．【分析】确定直线l的方程，代入抛物线方程，确定A的坐标，从而可求△OAF的面积．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F的坐标为（1，0）∵直线l过F，倾斜角为60°∴直线l的方程为：，即代入抛物线方程，化简可得∴y=2，或y=﹣∵A在x轴上方∴△OAF的面积为=故答案为：13．（2012•北京）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为1．【分析】直接利用向量转化，求出数量积即可．【解答