第一章 5利用三角形全等测距离

5利用三角形全等测距离1.阅读相关内容完成下列问题：(1)在测河宽问题中，“保持刚才的姿态”你是怎样理解的？答：___________________.(2)直立的姿态从而保证了两个三角形中的两个_____；帽檐不动，保证了视线和身体的_____不变.(3)要说明图中两个三角形全等，已知两角，则还差一边，即_________.(4)测量的原理是：构造了_______________.直立姿态和帽檐不动直角夹角身高不变两个全等三角形2.“想一想”中的测量方法是根据____构造△ABC和△DEC全等，进而得___=AB.【归纳】(1)利用三角形的全等测距离的根据：全等三角形的对应边_____.(2)利用三角形的全等测距离的方法：转化法，即把不能直接测量或无法测量的线段转化为容易测量的线段.SASDE相等【预习思考】利用三角形全等测距离的实质是什么？提示：其实质为构造三角形全等，根据全等三角形对应边相等，将不可测的线段的长度，转化为可测线段长度.知识点利用全等三角形测距离【例】(8分)如图，小勇要测量家门前河中浅滩B到对岸A的距离，他先在岸边定出C点，使C，A，B在同一直线上，再沿AC的垂直方向在岸边画线段CD，取它的中点O，又画DF⊥CD，观测得到E，O，B在同一直线上，且F，O，A也在同一直线上，那么EF的长就是浅滩B到对岸A的距离，你能说出这是为什么吗？【规范解答】因为DF⊥CD，AC⊥CD，所以∠__=∠__=90°.……………………………………………………………2分又因为OC=___，∠COA=∠____，所以△____≌△FOD(____)，所以∠__=∠F，___=OF……………………………………4分又因为∠AOB=∠____，所以△AOB≌______(____)，……………………………6分所以AB=___，所以___的长就是浅滩B到对岸A的距离…………………8分DCODDOFAOCASAAOAFOE△FOEASAEFEF【互动探究】对于上例，除上述解法外还有没有其他解法？提示：有，先判定△AOC≌△FOD，得AC=DF，再判定△BOC≌△EOD，得BC=DE，最后由AC-BC=DF-DE，得AB=EF.【规律总结】利用三角形全等测距离的四个步骤(1)先定方法：即确定根据哪一判别方法构造三角形全等.(2)画草图：根据实际问题画出草图.(3)结合图形和题意确定已知条件.(4)说明理由.【跟踪训练】1.如图所示，已知AC=DB，AO=DO，CD=100m，则A，B两点间的距离()(A)大于100m(B)等于100m(C)小于100m(D)无法确定【解析】选B．因为AC=DB，AO=DO，所以OB=OC，又∠AOB=∠DOC，所以△AOB≌△DOC，所以AB=CD=100m．2.如图，设在一个宽度为w的小巷内，一个梯子长为a，梯子的底端位于A点，将梯子的顶端放在一堵墙上Q点时，Q点离开地面的高度为k，梯子的倾斜角为45°；将该梯子的顶端放在另一堵墙上R点时，R点离开地面的高度为h，且此时梯子倾斜角为75°，则小巷宽度w=()(A)h(B)k(C)a(D)hk2【解析】选A．连接QR，过Q作QD⊥PR，所以∠AQD=45°，因为∠QAR=180°-75°-45°=60°，且AQ=AR，所以△AQR为等边三角形，即AQ=QR，因为∠AQD=45°，所以∠RQD=15°=∠ARP，∠QRD=75°=∠RAP，所以△DQR≌△PRA(ASA)，所以QD=RP，即w=h．3.如图所示，AA′，BB′表示两根长度相同的木条，若O是AA′，BB′的中点，经测量AB=9cm，则容器的内径A′B′为()(A)8cm(B)9cm(C)10cm(D)11cm【解析】选B．由题意知：OA=OA′，∠AOB=∠A′OB′，OB=OB′，所以△AOB≌△A′OB′，所以A′B′=AB=9cm．4.我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞不论张开还是缩拢，△AED与△AFD始终保持全等，因此伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．△AED≌△AFD的理由是()(A)SAS(B)ASA(C)SSS(D)AAS【解析】选C．理由如下：因为E，F为定点，所以AE=AF，又因为AD=AD，ED=FD，所以在△AED和△AFD中，AE=AF，AD=AD，DE=DF，所以△AED≌△AFD(SSS)．1.如图所示，为了测量水池两边A，B间的距离，可以先过点A作射线AE，再过B点作BD⊥AE于点D，在AD延长线上截取DC=AD，连接BC，则BC的长就是A，B间的距离，以此来判断△ABD≌△CBD的理由是()(A)SSS(B)SAS(C)ASA(D)AAS【解析】选B.因为BD⊥AE，所以∠ADB=∠CDB=90°.在△ABD与△CBD中，所以△ABD≌△CBD(SAS)，故选B.ADCDADBCDBBDBD，，，2.如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，点C是AD的中点，也是BE的中点，若DE=20米，则AB=________米.【解析】因为点C是AD的中点，也是BE的中点，所以AC=DC，BC=EC.因为在△ACB和△DCE中，所以△ACB≌△DCE(SAS)，所以AB=DE=20米.答案：20ACDCACBDCEBCEC，，，3.如图所示，△ABC≌△DEF，AD=10cm，BE=6cm，则AE的长为______cm．【解析】因为△ABC≌△DEF，所以AB=DE，所以AE=AD-DE=AD-AB=BD，所以AE=(10-6)÷2=2(cm)．答案：24.如图所示，要测量河岸相对的两点A，B之间的距离，先从B处出发与AB成90°角方向，向前走50米到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D处，在D处转90°沿DE方向再走17米，到达E处，使A，C与E在同一直线上，那么测得A，B的距离为______．【解析】因为先从B处出发与AB成90°角方向，所以∠ABC=90°，因为BC=50米，CD=50米，∠EDC=90°，所以△ABC≌△EDC，所以AB=ED，因为沿DE方向再走17米，到达E处，即DE=17米，所以AB=17米．答案：17米5．如图，公园里有一条“Z”字型道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段道路旁各有一只小石凳E，M，F，M恰为BC的中点，且E，M，F在同一直线上，在BE道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B，E之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理.【解析】因为AB∥CD，所以∠B=∠C.在△BME和△CMF中，∠B=∠C，BM=CM，∠BME=∠CMF，所以△BME≌△CMF(ASA)，所以BE=CF.故只要测量CF即可得B，E之间的距离.